Tính diện tích hình phẳng và tích phân chứa trị tuyệt đối

Đề bài:

Xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị \(y = f(x) = x + 1\), trục hoành và hai đường thẳng \(x = -2,\ x = 1\) (H.4.12).

a) Tính diện tích \(S\) của hình phẳng này. b) Tính \(\int\limits_{-2}^{1} |f(x)|\,dx\) và so sánh với \(S\).

Phân tích bài toán

Tóm tắt đề bài

Cho hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng \(y = x+1\), trục hoành, \(x=-2\) và \(x=1\). Cần tính diện tích hình phẳng đó và tính tích phân \(\int_{-2}^{1}|x+1|\,dx\), rồi so sánh hai kết quả.

Kiến thức cần dùng

Tính diện tích tam giác \(S = \frac{1}{2} \cdot \text{đáy} \cdot \text{chiều cao}\). Tính chất tách tích phân: \(\int_a^b f(x)\,dx = \int_a^c f(x)\,dx + \int_c^b f(x)\,dx\) với \(a < c < b\). Xử lý trị tuyệt đối: \(|x+1| = -(x+1)\) khi \(x < -1\) và \(|x+1| = x+1\) khi \(x \geq -1\). Công thức nguyên hàm \(\int(x+1)\,dx = \frac{x^2}{2} + x + C\).

Phương pháp giải

Có hai cách tiếp cận. Cách 1 (phần a): Quan sát hình vẽ, nhận thấy hình phẳng gồm hai tam giác vuông, tính diện tích từng tam giác rồi cộng lại. Cách 2 (phần b): Xác định dấu của \(f(x) = x+1\) trên từng đoạn con của \([-2,1]\), tách tích phân tại điểm \(x = -1\) (nơi \(f(x) = 0\)), rồi tính từng tích phân con và cộng lại. Sau đó so sánh kết quả với \(S\).

Ứng dụng thực tế

Một người đi xe từ điểm A, lùi lại 2 km rồi tiến về phía trước 1 km so với điểm xuất phát. Nếu vận tốc tại mỗi thời điểm được mô tả bởi hàm \(v(t) = t + 1\), làm sao tính tổng quãng đường thực sự người đó đã đi (không kể chiều)?

Gợi ý (0/3)

Lời giải chi tiết

Các bài tập cùng bài học— Bài 13. Ứng dụng hình học của tích phân

Góp ý về bài tập

Bạn thấy nội dung có gì chưa ổn? Góp ý của bạn giúp chúng tôi cải thiện.

...