Đặt MB = x (km), với \(0 \le x \le 10\).
Khi đó: AM = 10 - x (km) và \(MC = \sqrt{MB^2 + CB^2} = \sqrt{x^2 + 16}\) (km).
Hàm chi phí lắp đặt từ A đến C:
\[f(x) = 30(10 - x) + 50\sqrt{x^2 + 16} \text{ (triệu đồng)}.\]
Tính đạo hàm:
\[f'(x) = -30 + \frac{50x}{\sqrt{x^2 + 16}}.\]
Giải f'(x) = 0:
\[\frac{50x}{\sqrt{x^2 + 16}} = 30 \Leftrightarrow \frac{x}{\sqrt{x^2+16}} = \frac{3}{5}.\]
Bình phương hai vế:
\[25x^2 = 9(x^2 + 16) \Leftrightarrow 16x^2 = 144 \Leftrightarrow x^2 = 9 \Leftrightarrow x = 3\] (nhận, vì \(0 \le 3 \le 10\)).
So sánh giá trị tại các điểm:
- \(f(0) = 30 \cdot 10 + 50 \cdot 4 = 300 + 200 = 500\) (triệu đồng).
- \(f(3) = 30 \cdot 7 + 50\sqrt{9+16} = 210 + 50 \cdot 5 = 210 + 250 = 460\) (triệu đồng).
- \(f(10) = 30 \cdot 0 + 50\sqrt{100+16} = 50\sqrt{116} = 100\sqrt{29} \approx 538{,}5\) (triệu đồng).
Chi phí nhỏ nhất là 460 triệu đồng, đạt được khi x = 3.
Vậy điểm M cách B một khoảng 3 km trên đoạn AB thì tổng chi phí lắp đặt là nhỏ nhất, bằng 460 triệu đồng.
