Tìm khoảng đơn điệu của hàm phân thức

a) Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \{-2\}\). Tính đạo hàm: \[y' = \frac{2(x+2) - (2x-1)}{(x+2)^2} = \frac{2x + 4 - 2x + 1}{(x+2)^2} = \frac{5}{(x+2)^2} > 0, \quad \forall x \neq -2.\] Vì \(y' > 0\) với mọi \(x\) thuộc tập xác định, hàm số \(y = \dfrac{2x-1}{x+2}\) đồng biến trên \((-\infty; -2)\) và đồng biến trên \((-2; +\infty)\). b) Tập xác định: \(D = \mathbb{R} \setminus \{3\}\). Tính đạo hàm: \[y' = \frac{(2x+1)(x-3) - (x^2+x+4) \cdot 1}{(x-3)^2} = \frac{2x^2 - 5x - 3 - x^2 - x - 4}{(x-3)^2} = \frac{x^2 - 6x - 7}{(x-3)^2}.\] Giải \(y' = 0\): \[x^2 - 6x - 7 = 0 \Leftrightarrow (x-7)(x+1) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 7 \\ x = -1 \end{array}\right.\] Cả hai nghiệm đều thuộc tập xác định. Lập bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên: Hàm số \(y = \dfrac{x^2+x+4}{x-3}\) đồng biến trên \((-\infty; -1)\) và \((7; +\infty)\). Hàm số \(y = \dfrac{x^2+x+4}{x-3}\) nghịch biến trên \((-1; 3)\) và \((3; 7)\).