Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số

a) Tập xác định: \(\mathbb{R}\). \(y' = 4x^3 - 4x\) \(y' = 0 \Leftrightarrow 4x^3 - 4x = 0 \Leftrightarrow 4x(x^2 - 1) = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} x = 0 \\ x = \pm 1 \end{array}\right.\) Giá trị hàm số tại các điểm tới hạn: \(y(0) = 3\); \(y(1) = y(-1) = 1 - 2 + 3 = 2\). Vì \(\lim_{x \to \pm\infty} y = +\infty\), hàm số không có giá trị lớn nhất. Kết luận: \(\min_{(-\infty;+\infty)} y = y(1) = y(-1) = 2\), hàm số không có giá trị lớn nhất. b) Tập xác định: \(\mathbb{R}\). \(y' = e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x)\) \(y' = 0 \Leftrightarrow e^{-x}(1-x) = 0 \Leftrightarrow x = 1\) (vì \(e^{-x} > 0\) với mọi x). Bảng biến thiên: Vì \(\lim_{x \to -\infty} x e^{-x} = -\infty\), hàm số không có giá trị nhỏ nhất. Kết luận: \(\max_{(-\infty;+\infty)} y = y(1) = \dfrac{1}{e}\), hàm số không có giá trị nhỏ nhất. c) Tập xác định: \(D = (0; +\infty)\). \(y' = \ln x + x \cdot \dfrac{1}{x} = \ln x + 1\) \(y' = 0 \Leftrightarrow \ln x = -1 \Leftrightarrow x = \dfrac{1}{e}\) (thỏa mãn \(x > 0\)). Bảng biến thiên: Vì \(\lim_{x \to +\infty} x\ln x = +\infty\), hàm số không có giá trị lớn nhất. Giá trị tại điểm tới hạn: \(y\!\left(\dfrac{1}{e}\right) = \dfrac{1}{e} \cdot (-1) = -\dfrac{1}{e}\). Kết luận: \(\min_{(0;+\infty)} y = y\!\left(\dfrac{1}{e}\right) = -\dfrac{1}{e}\), hàm số không có giá trị lớn nhất. d) Điều kiện: \(x - 1 \geq 0\) và \(3 - x \geq 0\), suy ra tập xác định là \([1; 3]\). \(y' = \dfrac{1}{2\sqrt{x-1}} - \dfrac{1}{2\sqrt{3-x}}\) (y' không xác định tại \(x = 1\) và \(x = 3\) — hai đầu mút.) \(y' = 0 \Leftrightarrow \dfrac{1}{2\sqrt{x-1}} = \dfrac{1}{2\sqrt{3-x}} \Leftrightarrow \sqrt{3-x} = \sqrt{x-1} \Leftrightarrow 3 - x = x - 1 \Leftrightarrow x = 2\). Tính giá trị hàm tại \(x = 1\), \(x = 2\), \(x = 3\): \(y(1) = \sqrt{0} + \sqrt{2} = \sqrt{2}\) \(y(2) = \sqrt{1} + \sqrt{1} = 2\) \(y(3) = \sqrt{2} + \sqrt{0} = \sqrt{2}\) Kết luận: \(\max_{[1;3]} y = y(2) = 2\); \(\min_{[1;3]} y = y(1) = y(3) = \sqrt{2}\).