Phân tích chuyển động của hạt qua hàm tọa độ

Đề bài:

Một hạt chuyển động trên trục thẳng đứng, chiều dương hướng lên trên. Tọa độ của hạt (đơn vị: mét) tại thời điểm t (giây) là: \[y = t^3 - 12t + 3, \quad t \ge 0\] a) Tìm hàm vận tốc và hàm gia tốc của hạt. b) Hạt chuyển động lên trên khi nào? Hạt chuyển động xuống dưới khi nào? c) Tính quãng đường hạt đi được trong khoảng thời gian \(0 \le t \le 3\). d) Hạt tăng tốc khi nào? Hạt giảm tốc khi nào?

Phân tích bài toán

Tóm tắt đề bài

Bài cho hàm tọa độ \(y = t^3 - 12t + 3\) với \(t \ge 0\). Cần tìm vận tốc, gia tốc, xác định chiều chuyển động, tính quãng đường trong \([0;3]\) và xác định khi nào hạt tăng/giảm tốc.

Kiến thức cần dùng

Hàm vận tốc là đạo hàm bậc nhất của hàm tọa độ: \(v(t) = y'(t)\). Hàm gia tốc là đạo hàm của hàm vận tốc: \(a(t) = v'(t) = y''(t)\). Hạt chuyển động theo chiều dương (lên trên) khi \(v(t) > 0\), theo chiều âm (xuống dưới) khi \(v(t) < 0\). Quãng đường tính bằng cách cộng độ dài từng đoạn đi không đổi chiều. Hạt tăng tốc khi \(a(t) > 0\), giảm tốc khi \(a(t) < 0\).

Phương pháp giải

Chỉ có một hướng giải. Lần lượt lấy đạo hàm để tìm \(v(t)\) và \(a(t)\). Giải bất phương trình \(v(t) > 0\) và \(v(t) < 0\) để xác định chiều chuyển động. Để tính quãng đường, tìm thời điểm \(v(t) = 0\) trong \([0;3]\) rồi tính tọa độ tại từng thời điểm đó, sau đó cộng các đoạn đường lại. Xét dấu \(a(t)\) để kết luận tăng/giảm tốc.

Ứng dụng thực tế

Khi em đi xe đạp trên đường thẳng, nếu tốc độ tại mỗi giây được cho bởi một công thức, em có thể tính được tổng quãng đường đã đi mà không cần nhìn đồng hồ — tương tự cách bài này tính quãng đường từ hàm tọa độ.

Gợi ý (0/3)

Lời giải chi tiết

Các bài tập cùng bài học— Bài 5. Ứng dụng đạo hàm để giải quyết một số vấn đề liên quan đến thực tiễn

Góp ý về bài tập

Bạn thấy nội dung có gì chưa ổn? Góp ý của bạn giúp chúng tôi cải thiện.

...