Khảo sát hàm số nồng độ chất khử trùng trong bể nước

a) Sau t phút: - Thể tích nước trong bể: \(200 + 40t\) (lít). - Khối lượng chất khử trùng trong bể: \(20t\) (gam). - Nồng độ chất khử trùng: \(\dfrac{20t}{40t + 200}\) (gam/lít). b) Hàm số nồng độ chất khử trùng: \(f(t) = \dfrac{20t}{40t + 200}\), \(t \ge 0\). Tập xác định: \([0; +\infty)\). Sự biến thiên: Tính đạo hàm: \[f'(t) = \frac{20 \cdot (40t + 200) - 20t \cdot 40}{(40t + 200)^2} = \frac{4000}{(40t + 200)^2}\] Vì \((40t+200)^2 > 0\) với mọi \(t \ge 0\) nên \(f'(t) > 0\) với mọi \(t \ge 0\). Hàm số đồng biến trên \((0; +\infty)\). Hàm số không có cực trị. Tiệm cận ngang: \[\lim_{t \to +\infty} f(t) = \lim_{t \to +\infty} \frac{20t}{40t + 200} = \lim_{t \to +\infty} \frac{20}{40 + \frac{200}{t}} = \frac{20}{40} = \frac{1}{2}\] Đồ thị hàm số nhận đường thẳng \(y = \dfrac{1}{2}\) làm tiệm cận ngang (phía phải trục Oy). Giá trị tại \(t = 0\): \(f(0) = 0\), nên đồ thị đi qua gốc tọa độ \((0; 0)\). Bảng biến thiên: Đồ thị: c) Vì \(f'(t) = \dfrac{4000}{(40t+200)^2} > 0\) với mọi \(t \ge 0\) nên nồng độ tăng theo t. Vì \(\lim_{t \to +\infty} f(t) = \dfrac{1}{2}\) nên đồ thị tiệm cận đường \(y = \dfrac{1}{2}\) mà không cắt đường này. Do đó nồng độ chất khử trùng luôn nhỏ hơn 0,5 gam/lít, tức là không vượt ngưỡng 0,5 gam/lít.