Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc ba

1. Tập xác định: \(D = \mathbb{R}\). 2. Sự biến thiên: Tính đạo hàm: \[y' = -6x^2 + 6x - 5\] Xét dấu \(y'\): Đặt \(y' = -6x^2 + 6x - 5\). Ta có: \[y' = -6\left(x^2 - x\right) - 5 = -6\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{6}{4} - 5 = -6\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{7}{2}\] Vì \(-6\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 \leq 0\) với mọi \(x\), nên: \[y' = -6\left(x - \frac{1}{2}\right)^2 - \frac{7}{2} \leq -\frac{7}{2} < 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}\] Hàm số nghịch biến trên \((-\infty; +\infty)\) và không có cực trị. Giới hạn tại vô cực: \[\lim_{x \to -\infty} y = \lim_{x \to -\infty} x^3\left(-2 + \frac{3}{x} - \frac{5}{x^2}\right) = +\infty\] \[\lim_{x \to +\infty} y = \lim_{x \to +\infty} x^3\left(-2 + \frac{3}{x} - \frac{5}{x^2}\right) = -\infty\] Bảng biến thiên: 3. Đồ thị: Giao điểm với trục tung: Tại \(x = 0\), \(y = 0\), nên đồ thị đi qua gốc tọa độ \((0; 0)\). Giao điểm với trục hoành: Giải phương trình \[-2x^3 + 3x^2 - 5x = 0 \Leftrightarrow -x(2x^2 - 3x + 5) = 0\] Tam thức \(2x^2 - 3x + 5\) có \(\Delta = 9 - 40 = -31 < 0\) nên không có nghiệm thực. Do đó đồ thị chỉ cắt trục hoành tại \((0; 0)\). Một điểm đặc biệt khác: \(x = 1 \Rightarrow y = -2 + 3 - 5 = -4\), nên điểm \((1; -4)\) thuộc đồ thị. Tâm đối xứng: Hoành độ tâm đối xứng là \(x_0 = -\frac{b}{3a} = -\frac{3}{3 \cdot (-2)} = \frac{1}{2}\). Tại \(x = \frac{1}{2}\): \[y = -2 \cdot \frac{1}{8} + 3 \cdot \frac{1}{4} - 5 \cdot \frac{1}{2} = -\frac{1}{4} + \frac{3}{4} - \frac{5}{2} = \frac{1}{2} - \frac{5}{2} = -2\] Tâm đối xứng của đồ thị là điểm \(\left(\frac{1}{2}; -2\right)\).