Chứng minh vectơ đối nhau và đẳng thức vectơ trong hình chóp
Đề bài:
Trong Ví dụ 6, chứng minh rằng:
a) \(\overrightarrow {BN}\) và \(\overrightarrow {DM}\) là hai vectơ đối nhau;
b) \(\overrightarrow {SD} - \overrightarrow {BN} - \overrightarrow {CM} = \overrightarrow {SC}\).
a) Tứ giác ABCD là hình bình hành nên AB = CD và AB // CD. Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD nên BM = DN và BM // DN. Do đó tứ giác DMBN là hình bình hành, suy ra BN = DM và BN // DM.
Hai vectơ \(\overrightarrow{BN}\) và \(\overrightarrow{DM}\) có cùng độ dài và ngược hướng, vậy chúng là hai vectơ đối nhau.
b) Từ câu a: \(\overrightarrow{BN} = -\overrightarrow{DM}\).
Thay vào biểu thức:
\[\overrightarrow{SD} - \overrightarrow{BN} - \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{SD} + \overrightarrow{DM} + \overrightarrow{MC}.\]
Áp dụng quy tắc ba điểm:
\[\overrightarrow{SD} + \overrightarrow{DM} = \overrightarrow{SM},\]
\[\overrightarrow{SM} + \overrightarrow{MC} = \overrightarrow{SC}.\]
Vậy \(\overrightarrow{SD} - \overrightarrow{BN} - \overrightarrow{CM} = \overrightarrow{SC}\).