Tính thể tích khối chóp đều S.ABCD theo góc cạnh bên và góc mặt bên

a) Gọi \(AC \cap BD = \{O\}\). Vì S.ABCD là chóp đều nên \(SO \perp (ABCD)\), suy ra O là hình chiếu của S xuống mặt đáy. C là hình chiếu của C xuống mặt đáy, nên OC là hình chiếu của SC lên mặt đáy. Vì vậy góc giữa cạnh bên SC và mặt đáy là \(\widehat{SCO} = 60^\circ\). Tam giác ABC vuông tại B: \[AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{6^2 + 6^2} = 6\sqrt{2} \text{ (cm)}\] \[OC = \frac{AC}{2} = 3\sqrt{2} \text{ (cm)}\] Tam giác SOC vuông tại O: \[\tan 60^\circ = \frac{SO}{OC} \Rightarrow SO = 3\sqrt{2} \cdot \tan 60^\circ = 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{3} = 3\sqrt{6} \text{ (cm)}\] \[S_{ABCD} = 6^2 = 36 \text{ (cm}^2\text{)}\] Thể tích khối chóp: \[V = \frac{1}{3} \cdot SO \cdot S_{ABCD} = \frac{1}{3} \cdot 3\sqrt{6} \cdot 36 = 36\sqrt{6} \text{ (cm}^3\text{)}\] b) Trong mặt đáy (ABCD), kẻ \(OE \perp CD\) (E thuộc CD). Vì \(SO \perp (ABCD)\) nên \(SO \perp CD\). Kết hợp với \(OE \perp CD\) ta được \(CD \perp (SOE)\). Do \(SE \subset (SOE)\) nên \(CD \perp SE\). Giao tuyến của mặt bên \((SCD)\) với mặt đáy \((ABCD)\) là CD, nên: \[\left((SCD),(ABCD)\right) = \widehat{SEO} = 45^\circ\] Vì \(OE \perp CD\) và \(AD \perp CD\), suy ra \(OE \parallel AD\). O là trung điểm AC nên OE là đường trung bình của tam giác ACD: \[OE = \frac{AD}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ (cm)}\] Tam giác SOE vuông tại O: \[\tan 45^\circ = \frac{SO}{OE} \Rightarrow SO = 3 \cdot \tan 45^\circ = 3 \text{ (cm)}\] Thể tích khối chóp: \[V = \frac{1}{3} \cdot SO \cdot S_{ABCD} = \frac{1}{3} \cdot 3 \cdot 36 = 36 \text{ (cm}^3\text{)}\]