a) Tam giác đều ABC có cạnh 2a nên diện tích:
\[S = \frac{(2a)^2\sqrt{3}}{4} = a^2\sqrt{3}\]
Tam giác đều A'B'C' có cạnh a nên diện tích:
\[S' = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\]
Thể tích khối chóp cụt:
\[V = \frac{1}{3} \cdot HH' \cdot \left(S + S' + \sqrt{S \cdot S'}\right)\]
\[= \frac{1}{3} \cdot h \cdot \left(a^2\sqrt{3} + \frac{a^2\sqrt{3}}{4} + \sqrt{a^2\sqrt{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4}}\right)\]
\[= \frac{1}{3} \cdot h \cdot \left(a^2\sqrt{3} + \frac{a^2\sqrt{3}}{4} + \frac{a^2\sqrt{3}}{2}\right)\]
\[= \frac{1}{3} \cdot h \cdot \frac{7a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{7a^2\sqrt{3}}{12}h\]
b) Vì ABC.A'B'C' là khối chóp cụt đều nên (ABC) // (A'B'C').
Mà \((AB_1C_1) \subset (ABC)\) nên \((AB_1C_1) // (A'B'C')\), tức hai đáy song song.
Xét tam giác ABC: B₁ và C₁ lần lượt là trung điểm của AB và AC, nên B₁C₁ là đường trung bình của tam giác ABC. Suy ra:
\[B_1C_1 = \frac{BC}{2} \quad \text{và} \quad B_1C_1 // BC\]
Mặt khác \(B'C' = \frac{BC}{2}\) và B'C' // BC, nên B₁C₁ = B'C' và B₁C₁ // B'C'. Do đó tứ giác B₁C₁C'B' là hình bình hành.
Tương tự:
\[AB_1 = \frac{AB}{2} = A'B', \quad AB_1 // A'B' \Rightarrow \text{tứ giác } AB_1B'A' \text{ là hình bình hành}\]
\[AC_1 = \frac{AC}{2} = A'C', \quad AC_1 // A'C' \Rightarrow \text{tứ giác } AC_1C'A' \text{ là hình bình hành}\]
Vậy AB₁C₁.A'B'C' có hai đáy song song và ba mặt bên đều là hình bình hành, nên đây là một hình lăng trụ.
Thể tích khối lăng trụ:
\[V = HH' \cdot S' = h \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}h\]
