Chứng minh bất đẳng thức đạo hàm hàm lượng giác

Đề bài:

Cho hàm số \(f(x) = 2\sin^2\!\left(3x - \dfrac{\pi}{4}\right)\). Chứng minh rằng \(|f'(x)| \le 6\) với mọi \(x\).

Phân tích bài toán

Tóm tắt đề bài

Cho trước hàm \(f(x) = 2\sin^2\!\left(3x - \dfrac{\pi}{4}\right)\), cần tính \(f'(x)\) rồi chứng minh \(|f'(x)| \le 6\) với mọi \(x\).

Kiến thức cần dùng

Quy tắc đạo hàm hàm hợp: \((u^n)' = n u^{n-1} \cdot u'\) và \((\sin u)' = u' \cdot \cos u\). Công thức nhân đôi: \(2\sin\alpha\cos\alpha = \sin 2\alpha\). Tính chất \(-1 \le \sin t \le 1\) với mọi \(t\).

Phương pháp giải

Một cách. Tính \(f'(x)\) bằng quy tắc đạo hàm hàm hợp, rút gọn biểu thức bằng công thức nhân đôi để đưa về dạng \(6\sin(\ldots)\), sau đó dùng bất đẳng thức \(|\sin t| \le 1\) để kết luận.

Ứng dụng thực tế

Trong kỹ thuật âm thanh, biên độ dao động của sóng âm luôn bị giới hạn bởi một giá trị cực đại — tương tự như việc \(f'(x)\) bị chặn bởi 6 ở đây. Em có thể liên hệ: nếu tốc độ thay đổi âm lượng của một loa được mô tả bởi \(f'(x)\), thì giá trị tuyệt đối của nó không vượt quá ngưỡng 6 đơn vị, giúp loa không bị méo tiếng.

Gợi ý (0/3)

Lời giải chi tiết

Các bài tập cùng bài học— Bài 32. Các quy tắc tính đạo hàm

Góp ý về bài tập

Bạn thấy nội dung có gì chưa ổn? Góp ý của bạn giúp chúng tôi cải thiện.

...