Chứng minh và tính diện tích tam giác ABC

Đề bài:

Cho tam giác ABC có \(\widehat{B} = 75^\circ\), \(\widehat{C} = 45^\circ\) và \(a = BC = 12\) cm. a) Sử dụng công thức \(S = \dfrac{1}{2}ab\sin C\) và định lí sin, chứng minh diện tích tam giác ABC được tính bởi công thức: \[S = \frac{a^2 \sin B \sin C}{2\sin A}\] b) Dùng kết quả câu a và công thức biến đổi tích thành tổng, tính diện tích \(S\) của tam giác ABC.

Phân tích bài toán

Tóm tắt đề bài

Tam giác ABC có \(\widehat{B} = 75^\circ\), \(\widehat{C} = 45^\circ\), \(a = BC = 12\) cm. Câu a yêu cầu chứng minh công thức diện tích; câu b yêu cầu tính diện tích cụ thể.

Kiến thức cần dùng

Định lí sin: \(\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B}\); công thức diện tích \(S = \dfrac{1}{2}ab\sin C\); công thức biến đổi tích thành tổng: \(\sin\alpha\sin\beta = \dfrac{1}{2}[\cos(\alpha - \beta) - \cos(\alpha + \beta)]\); tổng ba góc trong tam giác bằng \(180^\circ\); các giá trị lượng giác của góc đặc biệt \(30^\circ, 45^\circ, 60^\circ, 120^\circ\).

Phương pháp giải

Câu a chỉ có một cách: từ định lí sin biểu diễn \(b\) theo \(a\), \(\sin A\), \(\sin B\), rồi thế vào công thức diện tích. Câu b tính \(\widehat{A}\) từ tổng ba góc, thế các giá trị vào công thức câu a, sau đó dùng công thức tích thành tổng để tính \(\sin 75^\circ \sin 45^\circ\).

Ứng dụng thực tế

Khi cần đo diện tích một mảnh đất hình tam giác mà chỉ biết một cạnh và hai góc kề, công thức này giúp tính ngay mà không cần đo thêm cạnh thứ hai.

Gợi ý (0/3)

Lời giải chi tiết

Các bài tập cùng bài học— Bài 2. Công thức lượng giác

Góp ý về bài tập

Bạn thấy nội dung có gì chưa ổn? Góp ý của bạn giúp chúng tôi cải thiện.

...