Tính thể tích khối hộp và khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng

Đề bài:

Cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\) có độ dài tất cả các cạnh bằng \(a\), \(AA' \bot (ABCD)\) và \(\widehat{BAD} = 60^\circ\). a) Tính thể tích của khối hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). b) Tính khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \((A'BD)\).

Phân tích bài toán

Tóm tắt đề bài

Hình hộp đứng có tất cả cạnh bằng \(a\), góc \(\widehat{BAD} = 60^\circ\). Câu a yêu cầu tính thể tích khối hộp, câu b yêu cầu tính khoảng cách từ \(A\) đến mặt phẳng \((A'BD)\).

Kiến thức cần dùng

Thể tích khối hộp đứng \(V = S_{đáy} \times h\). Diện tích hình thoi bằng 2 lần diện tích tam giác tạo bởi một đường chéo: \(S_{\triangle ABD} = \frac{1}{2}AB \cdot AD \cdot \sin\widehat{BAD}\). Quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng: nếu \(BD \perp\) hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng \((A'AO)\) thì \(BD \perp (A'AO)\). Khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng xác định bằng đường vuông góc chung. Công thức đường cao trong tam giác vuông: \(\frac{1}{AE^2} = \frac{1}{AA'^2} + \frac{1}{OA^2}\).

Phương pháp giải

Có một cách giải chính. Với câu a: vì \(AA' \perp (ABCD)\) nên chiều cao khối hộp là \(AA' = a\); tính \(S_{ABCD}\) bằng cách chia hình thoi thành 2 tam giác bằng nhau qua đường chéo BD rồi dùng công thức diện tích tam giác. Với câu b: gọi \(O = AC \cap BD\), chứng minh \(BD \perp (A'AO)\) từ đó suy ra \((A'AO) \perp (A'BD)\). Trong mặt phẳng \((A'AO)\), kẻ \(AE \perp A'O\) thì \(AE \perp (A'BD)\), dùng công thức đường cao trong tam giác vuông \(A'AO\) để tính \(AE\).

Ứng dụng thực tế

Khi xây một căn phòng dạng hình hộp chữ nhật lệch (sàn hình thoi), người thợ cần tính thể tích để ước lượng lượng vật liệu sơn tường — bài này cho em cách tính đó khi biết cạnh và góc của sàn.

Gợi ý (0/3)

Lời giải chi tiết

Các bài tập cùng bài học— Bài tập cuối chương VII

Góp ý về bài tập

Bạn thấy nội dung có gì chưa ổn? Góp ý của bạn giúp chúng tôi cải thiện.

...