Chứng minh tiếp tuyến hypebol tạo tam giác diện tích không đổi

Đề bài:

Đồ thị của hàm số \(y = \dfrac{a}{x}\) (với \(a\) là hằng số dương) là một đường hypebol. Chứng minh rằng tiếp tuyến tại một điểm bất kì của đường hypebol đó tạo với các trục toạ độ một tam giác có diện tích không đổi.

Phân tích bài toán

Tóm tắt đề bài

Cho hypebol \(y = \dfrac{a}{x}\) với \(a > 0\). Cần chứng minh tiếp tuyến tại điểm bất kì trên đường cong cắt hai trục toạ độ tạo thành tam giác có diện tích luôn bằng nhau, không phụ thuộc vào điểm tiếp xúc.

Kiến thức cần dùng

Đạo hàm của hàm số \(y = \dfrac{a}{x}\) là \(y' = -\dfrac{a}{x^2}\). Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(\left(x_0; f(x_0)\right)\): \(y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)\). Diện tích tam giác vuông tại gốc toạ độ với hai cạnh góc vuông \(OA\), \(OB\): \(S = \dfrac{1}{2} \cdot OA \cdot OB\).

Phương pháp giải

Chỉ có một cách. Lấy điểm bất kì trên hypebol có hoành độ \(x_0\), viết phương trình tiếp tuyến tại điểm đó, tìm toạ độ hai giao điểm của tiếp tuyến với trục \(Ox\) và \(Oy\), rồi tính diện tích tam giác tạo bởi tiếp tuyến và hai trục. Nếu kết quả chỉ phụ thuộc \(a\) mà không phụ thuộc \(x_0\), bài toán được chứng minh.

Ứng dụng thực tế

Trong thiết kế đường ray cong, người ta cần biết góc tiếp tuyến tại từng điểm — nếu một đường cong đặc biệt luôn tạo ra diện tích không đổi như vậy, liệu em có thể ứng dụng tính chất đó để tối ưu diện tích mặt cắt trong xây dựng không?

Gợi ý (0/3)

Lời giải chi tiết

Các bài tập cùng bài học— Bài tập cuối chương IX

Góp ý về bài tập

Bạn thấy nội dung có gì chưa ổn? Góp ý của bạn giúp chúng tôi cải thiện.

...