Tính góc cạnh bên với đáy và góc giữa hai mặt phẳng trong hình chóp đều S.ABC

Đề bài:

Cho hình chóp đều S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng $a$, cạnh bên bằng $b$. a) Tính $\sin$ của góc tạo bởi cạnh bên SA và mặt đáy $(ABC)$. b) Tính $\tan$ của góc giữa mặt phẳng $(SBC)$ và mặt phẳng $(ABC)$.

Phân tích bài toán

Tóm tắt đề bài

Hình chóp đều S.ABC có đáy tam giác đều cạnh $a$, cạnh bên $b$. Cần tính $\sin$ của góc giữa SA và mặt đáy, rồi tính $\tan$ của góc giữa mặt bên $(SBC)$ và mặt đáy $(ABC)$.

Kiến thức cần dùng

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó với hình chiếu vuông góc của nó lên mặt phẳng. Góc giữa hai mặt phẳng được xác định bằng cách lấy một điểm trên giao tuyến, kẻ hai đường thẳng trong mỗi mặt phẳng vuông góc với giao tuyến tại điểm đó — góc giữa hai đường thẳng này chính là góc nhị diện. Trong hình chóp đều, đỉnh S chiếu vuông góc xuống trọng tâm G của đáy. Trọng tâm tam giác đều chia đường trung tuyến theo tỉ lệ $2:1$ kể từ đỉnh.

Phương pháp giải

Xác định hình chiếu của S lên $(ABC)$ là trọng tâm G. Tính độ dài $AG$, $GD$ dựa vào đường trung tuyến của tam giác đều cạnh $a$. Từ tam giác vuông SAG suy ra $SG$ rồi tính $\sin\widehat{SAG}$ cho câu a. Với câu b, chứng minh $BC \perp (SAD)$ để xác định góc nhị diện là $\widehat{SDA}$, rồi dùng tam giác SGD vuông tại G để tính $\tan\widehat{SDG}$.

Ứng dụng thực tế

Một cái lều trại có khung hình chóp tam giác đều, đáy dài 1,2 m và thanh cột xiên dài 1 m. Muốn biết thanh cột nghiêng bao nhiêu độ so với mặt đất, em làm thế nào?

Gợi ý (0/3)

Lời giải chi tiết

Các bài tập cùng bài học— Bài 25. Hai mặt phẳng vuông góc

Góp ý về bài tập

Bạn thấy nội dung có gì chưa ổn? Góp ý của bạn giúp chúng tôi cải thiện.

...