Lý thuyết về công thức nhân xác suất cho hai biến cố độc lập:
1. Định nghĩa hai biến cố độc lập
Hai biến cố A và B độc lập với nhau khi việc xảy ra hay không xảy ra của A không làm thay đổi xác suất xảy ra của B, và ngược lại.
Ví dụ: Gieo đồng xu lần thứ nhất (biến cố A: ra mặt ngửa) và gieo đồng xu lần thứ hai (biến cố B: ra mặt ngửa) là hai biến cố độc lập vì kết quả lần gieo trước không ảnh hưởng lần gieo sau.
2. Công thức nhân xác suất
Nếu A và B là hai biến cố độc lập:
\[ P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B) \]
Ví dụ minh họa: Gieo một con xúc xắc và tung một đồng xu.
- Biến cố A: xúc xắc ra mặt số chẵn \(\Rightarrow P(A) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}\)
- Biến cố B: đồng xu ra mặt ngửa \(\Rightarrow P(B) = \dfrac{1}{2}\)
- A và B độc lập, nên: \(P(A \cap B) = \dfrac{1}{2} \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4}\)
3. Mở rộng cho n biến cố
Nếu \(A_1, A_2, \ldots, A_n\) đôi một độc lập:
\[ P(A_1 \cap A_2 \cap \cdots \cap A_n) = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdots P(A_n) \]
4. Lưu ý quan trọng
- Độc lập khác với xung khắc: hai biến cố xung khắc là không thể cùng xảy ra (\(P(A \cap B) = 0\)), còn hai biến cố độc lập là không ảnh hưởng nhau về xác suất.
- Không được áp dụng công thức nhân cho hai biến cố bất kỳ khi chưa kiểm tra tính độc lập.
