a) Thay \(n = 1, 2, 3, 4, 5\):
\[u_1 = 5,\quad u_2 = 10,\quad u_3 = 15,\quad u_4 = 20,\quad u_5 = 25.\]
Tính tỉ số tổng quát: \(\dfrac{u_n}{u_{n-1}} = \dfrac{5n}{5(n-1)} = \dfrac{n}{n-1}\), phụ thuộc vào \(n\).
Vậy dãy số \(\left(u_n\right)\) không phải là cấp số nhân.
b) Thay \(n = 1, 2, 3, 4, 5\):
\[u_1 = 5,\quad u_2 = 25,\quad u_3 = 125,\quad u_4 = 625,\quad u_5 = 3125.\]
Tính tỉ số tổng quát: \(\dfrac{u_n}{u_{n-1}} = \dfrac{5^n}{5^{n-1}} = 5\), không đổi với mọi \(n \geq 2\).
Vậy dãy số \(\left(u_n\right)\) là cấp số nhân với công bội \(q = 5\).
Số hạng tổng quát: \(u_n = 5 \cdot 5^{n-1} = 5^n\).
c) Tính từng bước theo công thức truy hồi \(u_n = n \cdot u_{n-1}\):
\[u_1 = 1,\quad u_2 = 2 \cdot 1 = 2,\quad u_3 = 3 \cdot 2 = 6,\quad u_4 = 4 \cdot 6 = 24,\quad u_5 = 5 \cdot 24 = 120.\]
Tính tỉ số tổng quát: \(\dfrac{u_n}{u_{n-1}} = n\), phụ thuộc vào \(n\).
Vậy dãy số \(\left(u_n\right)\) không phải là cấp số nhân.
d) Tính từng bước theo công thức truy hồi \(u_n = 5 \cdot u_{n-1}\):
\[u_1 = 1,\quad u_2 = 5,\quad u_3 = 25,\quad u_4 = 125,\quad u_5 = 625.\]
Từ công thức truy hồi suy ra: \(\dfrac{u_n}{u_{n-1}} = 5\), không đổi với mọi \(n \geq 2\).
Vậy dãy số \(\left(u_n\right)\) là cấp số nhân với công bội \(q = 5\).
Số hạng tổng quát: \(u_n = 1 \cdot 5^{n-1} = 5^{n-1}\).
