Bài 5.4 trang 109 SGK Toán 11 tập 1 - Kết nối tri thức

a) \(1,12121212 \ldots = 1 + 0.12 + 0.0012 + 0.000012 +  \ldots \)

\(1 + 12 . {10^{ - 2}} + 12 . {10^{ - 4}} + 12 . {10^{ - 6}} +  \ldots \)

\(12 . {10^{ - 2}} + 12 . {10^{ - 4}} + 12 . {10^{ - 6}} +  \ldots \)là tổng cấp số nhân lùi vô hạn có \({u_1} = 12 . {10^{ - 2}}\), \(q = {10^{ - 2}}\) nên

\(1,121212 \ldots  = 1 + \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = 1 + \frac{{12 . {{10}^{ - 2}}}}{{1 - {{10}^{ - 2}}}} = \frac{{37}}{{33}}\).

b) \(3,102102102 \ldots  = 3 + 0.102 + 0.000102 +  \ldots \)

\( = 3 + 102 . {10^{ - 3}} + 102 . {10^{ - 6}} +  \ldots \)

\(102 . {10^{ - 3}} + 102 . {10^{ - 6}} + 102 . {10^{ - 9}} +  \ldots \) là tổng cấp số nhân lùi vô hạn có \({u_1} = 102 . {10^{ - 3}}\), \(q = {10^{ - 3}}\) nên

\(3,102102102 \ldots  = 3 + \frac{{{u_1}}}{{1 - q}} = 3 + \frac{{\left( {102 . {{10}^{ - 3}}} \right)}}{{1 - {{10}^{ - 3}}}} = \frac{{1033}}{{333}}\).