Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

Đạo hàm của hàm số tại một điểm Cho hàm số \( y = f(x) \) xác định trên khoảng \( (a; b) \) và \( x_0 \in (a; b) \). Đặt \( \Delta x \) là số gia của đối số tại \( x_0 \), tức là \( x_0 + \Delta x \in (a; b) \). Số gia tương ứng của hàm số tại \( x_0 \) là: \[ \Delta y = f(x_0 + \Delta x) - f(x_0) \] Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn: \[ \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \] thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm của hàm số \( y = f(x) \) tại điểm \( x_0 \), ký hiệu là \( f'(x_0) \) hoặc \( y'(x_0) \). Vậy: \[ f'(x_0) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}{\Delta x} \] Ý nghĩa hình học: \( f'(x_0) \) là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số \( y = f(x) \) tại điểm \( M(x_0,\, f(x_0)) \). Ý nghĩa vật lý: Nếu \( s = f(t) \) là quãng đường đi được theo thời gian \( t \), thì \( f'(t_0) \) là vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \( t_0 \).