a) Tính đạo hàm: \(v(t) = s'(t) = 3t^2 - 12t + 9\)
Vận tốc tại \(t = 2\):
\[v(2) = 3 \cdot 2^2 - 12 \cdot 2 + 9 = 12 - 24 + 9 = -3 \text{ (m/s)}\]
Vận tốc tại \(t = 4\):
\[v(4) = 3 \cdot 4^2 - 12 \cdot 4 + 9 = 48 - 48 + 9 = 9 \text{ (m/s)}\]
b) Vật đứng yên khi \(v(t) = 0\):
\[3t^2 - 12t + 9 = 0 \Leftrightarrow t^2 - 4t + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[\begin{array}{l} t = 1 \\ t = 3 \end{array}\right.\]
Vật đứng yên tại \(t = 1\) giây và \(t = 3\) giây.
c) Gia tốc: \(a(t) = v'(t) = 6t - 12\)
Gia tốc tại \(t = 4\):
\[a(4) = 6 \cdot 4 - 12 = 12 \text{ (m/s}^2\text{)}\]
d) Vật đổi chiều tại \(t = 1\) và \(t = 3\), nên chia thành 3 khoảng.
Các giá trị cần dùng:
\[f(0) = 0,\quad f(1) = 1 - 6 + 9 = 4,\quad f(3) = 27 - 54 + 27 = 0,\quad f(5) = 125 - 150 + 45 = 20\]
Khoảng \([0; 1]\): \(\left|f(1) - f(0)\right| = |4 - 0| = 4 \text{ m}\)
Khoảng \([1; 3]\): \(\left|f(3) - f(1)\right| = |0 - 4| = 4 \text{ m}\)
Khoảng \([3; 5]\): \(\left|f(5) - f(3)\right| = |20 - 0| = 20 \text{ m}\)
Tổng quãng đường: \(4 + 4 + 20 = 28 \text{ m}\)
e) Xét dấu gia tốc \(a(t) = 6t - 12\):
\(a(t) = 0 \Leftrightarrow t = 2\)
Với \(t \in [0; 2)\): \(a(t) < 0\) — vật giảm tốc.
Với \(t \in (2; 5]\): \(a(t) > 0\) — vật tăng tốc.
