Tính đạo hàm của các hàm số sau:
a) \(y = {\left( {2x - 3} \right)^{10}}\)
b) \(y = \sqrt {1 - {x^2}}\)
Phân tích bài toán
Tóm tắt đề bài
Cho hai hàm số hợp, yêu cầu tính đạo hàm của mỗi hàm.
Kiến thức cần dùng
Quy tắc đạo hàm hàm số hợp \(y'_x = y'_u \cdot u'_x\). Cụ thể: \((u^n)' = n \cdot u^{n-1} \cdot u'\) và \((\sqrt{u})' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\).
Phương pháp giải
Chỉ có một cách — nhận dạng hàm trong và hàm ngoài, áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp. Với câu a, hàm ngoài là \(u^{10}\), hàm trong là \(u = 2x - 3\). Với câu b, hàm ngoài là \(\sqrt{u}\), hàm trong là \(u = 1 - x^2\).
Ứng dụng thực tế
Trong vật lý, vận tốc của một vật chuyển động theo quy luật \(s = (3t - 1)^5\) được tính bằng cách lấy đạo hàm của hàm hợp — đúng dạng bài này.
Gợi ý (0/3)
Gợi ý 1:
Với hàm hợp \(y = f(g(x))\), đạo hàm tính theo công thức \(y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)\). Xác định rõ hàm trong và hàm ngoài trước khi tính.
Gợi ý 2:
Câu a: hàm ngoài là lũy thừa bậc 10, hàm trong là \(2x - 3\). Áp dụng \((u^{10})' = 10u^9 \cdot u'\), sau đó tính \((2x-3)'\). Câu b: hàm ngoài là căn bậc hai, hàm trong là \(1 - x^2\). Áp dụng \((\sqrt{u})' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\), sau đó tính \((1-x^2)'\).
Gợi ý 3:
Câu a: \((2x-3)' = 2\), nên kết quả là \(10(2x-3)^9 \cdot 2\). Câu b: \((1-x^2)' = -2x\), nên kết quả là \(\dfrac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}\), rút gọn lại.
Lời giải chi tiết
a) Đặt \(u = 2x - 3\), khi đó \(y = u^{10}\).
Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp:
\[y' = 10(2x-3)^9 \cdot (2x-3)' = 10(2x-3)^9 \cdot 2 = 20(2x-3)^9\]
b) Đặt \(u = 1 - x^2\), khi đó \(y = \sqrt{u}\).
Áp dụng công thức đạo hàm hàm hợp:
\[y' = \frac{(1-x^2)'}{2\sqrt{1-x^2}} = \frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}} = \frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}\]
Các bài tập cùng bài học— Bài 32. Các quy tắc tính đạo hàm