Tính giới hạn tổng hai dãy số và so sánh

Đề bài:

Cho hai dãy số \(\left( {u_n} \right)\) và \(\left( {v_n} \right)\) với \(u_n = 2 + \dfrac{1}{n}\), \(v_n = 3 - \dfrac{2}{n}\). Tính và so sánh: \(\mathop {\lim}\limits_{n \to +\infty} \left( {u_n + v_n} \right)\) và \(\mathop {\lim}\limits_{n \to +\infty} u_n + \mathop {\lim}\limits_{n \to +\infty} v_n\).

Phân tích bài toán

Tóm tắt đề bài

Cho \(u_n = 2 + \dfrac{1}{n}\) và \(v_n = 3 - \dfrac{2}{n}\). Cần tính giới hạn của tổng \(u_n + v_n\), sau đó tính riêng giới hạn từng dãy rồi cộng lại, và so sánh hai kết quả.

Kiến thức cần dùng

Công thức \(\mathop{\lim}\limits_{n \to +\infty} \dfrac{1}{n} = 0\). Tính chất giới hạn: giới hạn của tổng bằng tổng các giới hạn, tức là \(\mathop{\lim}\limits_{n \to +\infty}(u_n + v_n) = \mathop{\lim}\limits_{n \to +\infty} u_n + \mathop{\lim}\limits_{n \to +\infty} v_n\) khi cả hai giới hạn đều tồn tại.

Phương pháp giải

Có một cách giải chính. Cộng trực tiếp \(u_n + v_n\) để được biểu thức đơn giản hơn, rồi tính giới hạn dựa vào \(\lim \dfrac{1}{n} = 0\). Song song đó, tính riêng \(\lim u_n\) và \(\lim v_n\) rồi cộng lại. Cuối cùng so sánh hai kết quả.

Ứng dụng thực tế

Một cửa hàng giảm giá mỗi ngày một lượng nhỏ dần — nếu biết xu hướng giảm giá của từng mặt hàng riêng lẻ, em có thể tính được tổng giá trị tiết kiệm khi mua cả hai mặt hàng mà không cần cộng trước rồi mới xét xu hướng.

Gợi ý (0/3)

Lời giải chi tiết

Các bài tập cùng bài học— Bài 15. Giới hạn của dãy số

Góp ý về bài tập

Bạn thấy nội dung có gì chưa ổn? Góp ý của bạn giúp chúng tôi cải thiện.

...