Cho khối lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy là các tam giác đều cạnh a, A'A = A'B = A'C = b. Tính thể tích của khối lăng trụ.
Phân tích bài toán
Tóm tắt đề bài
Khối lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, ba cạnh bên từ A' bằng nhau và bằng b. Cần tính thể tích khối lăng trụ.
Kiến thức cần dùng
Thể tích khối lăng trụ \(V = S_{đáy} \cdot h\), trong đó h là chiều cao (khoảng cách giữa hai mặt đáy). Diện tích tam giác đều cạnh a: \(S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\). Tính chất hình chóp đều: nếu A'A = A'B = A'C và đáy là tam giác đều thì hình chiếu vuông góc của A' xuống mặt đáy chính là trọng tâm của tam giác đáy. Trọng tâm tam giác đều chia đường trung tuyến theo tỉ lệ 2:1 kể từ đỉnh. Định lý Pythagore để tính chiều cao A'F.
Phương pháp giải
Có một cách giải chính. Do A'A = A'B = A'C nên hình chóp A'.ABC là hình chóp đều, hình chiếu của A' lên mặt phẳng (ABC) là trọng tâm F của tam giác ABC. Tính AF qua đường trung tuyến của tam giác đều, rồi dùng Pythagore trong tam giác A'AF vuông tại F để tính A'F. Chiều cao lăng trụ chính là A'F. Cuối cùng nhân với diện tích đáy để ra thể tích.
Ứng dụng thực tế
Một lều cắm trại có nền là tam giác đều cạnh 2 m, ba cạnh khung từ đỉnh lều xuống ba góc đều dài 3 m. Hỏi thể tích không gian bên trong lều xấp xỉ bao nhiêu?