Tính khoảng cách từ S đến đáy và thể tích hình chóp S.ABCD

Đề bài:

Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang cân, \(AB//CD\) và \(AB = BC = DA = a\), \(CD = 2a\). Biết hai mặt phẳng \((SAC)\) và \((SBD)\) cùng vuông góc với mặt phẳng đáy \((ABCD)\) và \(SA = a\sqrt{2}\). Tính theo \(a\) khoảng cách từ \(S\) đến mặt phẳng \((ABCD)\) và thể tích của khối chóp S.ABCD.

Phân tích bài toán

Tóm tắt đề bài

Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang cân với các cạnh đã biết. Hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với đáy, cạnh SA = a√2. Cần tìm khoảng cách từ S xuống đáy và thể tích khối chóp.

Kiến thức cần dùng

Nếu hai mặt phẳng cùng vuông góc với một mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng đó. Định lý Pythagoras trong tam giác vuông. Tỉ lệ đường chéo trong hình thang (hai đường chéo cắt nhau tại điểm chia theo tỉ lệ hai đáy). Diện tích hình thang: \(S = \frac{1}{2}(a+b)\cdot h\). Thể tích khối chóp: \(V = \frac{1}{3} \cdot h \cdot S_{đáy}\).

Phương pháp giải

Một cách giải. Gọi O là giao điểm của AC và BD. Vì (SAC) ⊥ (ABCD) và (SBD) ⊥ (ABCD), giao tuyến SO ⊥ (ABCD), nên SO chính là khoảng cách cần tìm. Kẻ đường cao AK của hình thang để tính AK, từ đó tính AC, rồi tính OA theo tỉ lệ đường chéo, cuối cùng dùng Pythagoras trong tam giác SAO để tính SO. Thể tích tính bằng công thức \(V = \frac{1}{3} \cdot SO \cdot S_{ABCD}\).

Ứng dụng thực tế

Khi xây một mái nhà hình chóp trên nền hình thang cân, người thợ cần biết chiều cao mái để tính lượng vật liệu — đây chính là bài toán tìm khoảng cách từ đỉnh chóp xuống mặt đáy.

Gợi ý (0/3)

Lời giải chi tiết

Các bài tập cùng bài học— Bài tập cuối chương VII

Góp ý về bài tập

Bạn thấy nội dung có gì chưa ổn? Góp ý của bạn giúp chúng tôi cải thiện.

...