Tính đạo hàm cấp hai của hàm logarithm và hàm lượng giác
Đề bài:
Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau:
a) \(y = \ln(x + 1)\)
b) \(y = \tan 2x\)
Phân tích bài toán
Tóm tắt đề bài
Cho hai hàm số \(y = \ln(x+1)\) và \(y = \tan 2x\). Cần tính đạo hàm cấp hai \(y''\) của mỗi hàm.
Kiến thức cần dùng
Đạo hàm cấp hai \(y''\) là đạo hàm của \(y'\), tức là \(y'' = (y')'\). Công thức cần dùng: \((\ln u)' = \frac{u'}{u}\); \((\tan u)' = \frac{u'}{\cos^2 u}\); đạo hàm hàm hợp; quy tắc đạo hàm thương \(\left(\frac{1}{v}\right)' = \frac{-v'}{v^2}\).
Phương pháp giải
Chỉ có một cách. Với mỗi câu, tính \(y'\) trước bằng công thức đạo hàm tương ứng, sau đó tính tiếp đạo hàm của \(y'\) để được \(y''\). Câu b cần dùng thêm quy tắc đạo hàm hàm hợp khi tính đạo hàm của \(\cos^2 2x\).
Ứng dụng thực tế
Trong vật lý, gia tốc là đạo hàm cấp hai của hàm vị trí theo thời gian — nếu vị trí của một vật được mô tả bằng hàm logarithm hoặc lượng giác, tính đạo hàm cấp hai chính là tìm gia tốc của vật đó.