Tính chiều cao, khoảng cách trong hình chóp S.ABCD đáy vuông

Gọi E là trung điểm của AD. a) Tính chiều cao hình chóp Tam giác SAD đều nên SE ⊥ AD. (SAD) ⊥ (ABCD), giao tuyến là AD, và SE ⊂ (SAD) với SE ⊥ AD, nên SE ⊥ (ABCD). Vậy SE là chiều cao của hình chóp. Tính SE: \[ SE = \sqrt{SD^2 - DE^2} = \sqrt{a^2 - \left(\frac{a}{2}\right)^2} = \frac{a\sqrt{3}}{2} \] b) Khoảng cách giữa BC và (SAD) Ta có: - \(AB \perp AD\) (ABCD là hình vuông) - \(AB \perp SE\) (vì \(SE \perp (ABCD)\)) AD và SE cùng thuộc (SAD), nên \(AB \perp (SAD)\). Vì ABCD là hình vuông: \(BC \parallel AD\), mà \(AD \subset (SAD)\), nên \(BC \parallel (SAD)\). Do đó: \[ d(BC,\ (SAD)) = d(B,\ (SAD)) = AB = a \] c) Đường vuông góc chung và khoảng cách giữa AB và SD Trong mặt phẳng (SAD), kẻ \(AF \perp SD\) tại F. Vì \(AB \perp (SAD)\) và \(AF \subset (SAD)\) nên \(AB \perp AF\). Như vậy AF vuông góc với cả AB lẫn SD, nên AF là đường vuông góc chung của AB và SD. Tam giác SAD đều cạnh a, AF là đường cao, nên: \[ AF = \frac{a\sqrt{3}}{2} \] Vậy \(d(AB,\ SD) = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}\).