Tìm tập giá trị của hàm số lượng giác

a) Tập xác định \(D = \mathbb{R}\). Vì \(-1 \le \cos\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) \le 1\) với mọi \(x \in \mathbb{R}\), nhân ba vế với 2: \[-2 \le 2\cos\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) \le 2\] Trừ 1 ở cả ba vế: \[-3 \le 2\cos\left(2x - \dfrac{\pi}{3}\right) - 1 \le 1\] Vậy tập giá trị của hàm số là \(T = [-3;\, 1]\). b) Tập xác định \(D = \mathbb{R}\). Viết \(\sin x = \cos\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)\), khi đó: \[y = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) + \cos x\] Áp dụng công thức tổng hai cosin \(\cos A + \cos B = 2\cos\dfrac{A+B}{2}\cos\dfrac{A-B}{2}\) với \(A = \dfrac{\pi}{2} - x\), \(B = x\): \[y = 2\cos\left(\frac{\dfrac{\pi}{2} - x + x}{2}\right)\cos\left(\frac{\dfrac{\pi}{2} - x - x}{2}\right)\] \[= 2\cos\frac{\pi}{4}\cdot\cos\left(\frac{\pi}{4} - x\right)\] \[= 2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\cos\left(\frac{\pi}{4} - x\right)\] \[= \sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4} - x\right)\] Vì \(-1 \le \cos\left(\dfrac{\pi}{4} - x\right) \le 1\), nhân với \(\sqrt{2} > 0\): \[-\sqrt{2} \le \sqrt{2}\cos\left(\frac{\pi}{4} - x\right) \le \sqrt{2}\] Vậy tập giá trị của hàm số là \(T = [-\sqrt{2};\, \sqrt{2}]\).