Tìm hiểu khái niệm đạo hàm cấp hai
Đề bài:
Khái niệm đạo hàm cấp hai
Cho hàm số \( y = f(x) \) có đạo hàm \( f'(x) \) trên khoảng \( (a; b) \). Nếu \( f'(x) \) có đạo hàm tại điểm \( x_0 \in (a; b) \), thì đạo hàm của \( f'(x) \) tại \( x_0 \) được gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số \( f(x) \) tại \( x_0 \), ký hiệu là \( f''(x_0) \) hoặc \( y''(x_0) \).
Nói cách khác:
\[ f''(x_0) = \left( f'(x) \right)'\Big|_{x = x_0} \]
Nếu \( f'(x) \) có đạo hàm tại mọi điểm trên \( (a; b) \), ta được hàm số đạo hàm cấp hai \( f''(x) \) xác định trên \( (a; b) \).
Ví dụ: Tính đạo hàm cấp hai của hàm số \( f(x) = x^3 - 2x^2 + 5 \).
Bước 1: Tính đạo hàm cấp một:
\[ f'(x) = 3x^2 - 4x \]
Bước 2: Tính đạo hàm cấp hai:
\[ f''(x) = \left( f'(x) \right)' = (3x^2 - 4x)' = 6x - 4 \]