Tìm giới hạn hàm số khi x dần tới 2

Đề bài:

Cho hàm số \(f\left( x \right) = \dfrac{4 - x^2}{x - 2}\). a) Tìm tập xác định của hàm số \(f(x)\). b) Cho dãy số \(x_n = 2 + \dfrac{1}{n}\). Rút gọn \(f(x_n)\) và tính giới hạn của dãy \((u_n)\) với \(u_n = f(x_n)\). c) Với dãy số \((x_n)\) bất kì sao cho \(x_n \neq 2\) và \(x_n \to 2\), rút gọn \(f(x_n)\) và tìm \(\displaystyle\lim_{n \to +\infty} f(x_n)\).

Phân tích bài toán

Tóm tắt đề bài

Hàm số \(f(x) = \dfrac{4-x^2}{x-2}\) có mẫu bằng 0 tại \(x = 2\). Câu b và c yêu cầu rút gọn \(f(x_n)\) rồi tính giới hạn khi \(n \to +\infty\).

Kiến thức cần dùng

Tập xác định của hàm phân thức (mẫu khác 0). Hằng đẳng thức \(4 - x^2 = (2-x)(2+x)\). Định nghĩa giới hạn hàm số qua dãy số: nếu với mọi dãy \((x_n)\) thỏa \(x_n \neq x_0\) và \(x_n \to x_0\) đều có \(f(x_n) \to L\), thì \(\displaystyle\lim_{x \to x_0} f(x) = L\). Quy tắc tính giới hạn của dãy số.

Phương pháp giải

Một cách giải. Với câu a, loại giá trị làm mẫu bằng 0. Với câu b, thay \(x_n = 2 + \dfrac{1}{n}\) vào \(f\), rút gọn nhân tử \((x_n - 2)\) ở tử và mẫu bằng hằng đẳng thức, rồi tính giới hạn. Với câu c, làm tương tự nhưng giữ nguyên \(x_n\) ở dạng chữ, rút gọn rồi cho \(x_n \to 2\).

Ứng dụng thực tế

Khi tính tốc độ trung bình của xe trong khoảng thời gian rất nhỏ dần về 0, ta cũng gặp dạng \(\dfrac{0}{0}\) và cần rút gọn trước khi lấy giới hạn — đây chính là nền tảng của khái niệm đạo hàm mà em sẽ học ngay sau phần này.

Gợi ý (0/3)

Lời giải chi tiết

Các bài tập cùng bài học— Bài 16. Giới hạn của hàm số

Góp ý về bài tập

Bạn thấy nội dung có gì chưa ổn? Góp ý của bạn giúp chúng tôi cải thiện.

...