Chứng minh giới hạn của dãy độ cao quả bóng nảy bằng 0

Đề bài:

Một quả bóng cao su được thả từ độ cao 5 m xuống một mặt sàn. Sau mỗi lần chạm sàn, quả bóng nảy lên độ cao bằng \(\dfrac{2}{3}\) độ cao trước đó. Giả sử quả bóng luôn chuyển động vuông góc với mặt sàn và quá trình này tiếp diễn vô hạn lần. Gọi \(u_n\) là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng sau lần nảy lên thứ \(n\). Chứng minh rằng dãy số \(\left(u_n\right)\) có giới hạn bằng 0.

Phân tích bài toán

Tóm tắt đề bài

Bóng thả từ 5 m, mỗi lần nảy lên bằng \(\dfrac{2}{3}\) lần độ cao trước. Cần chứng minh \(\lim u_n = 0\).

Kiến thức cần dùng

Công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân: \(u_n = u_1 \cdot q^{n-1}\). Tính chất giới hạn của cấp số nhân lùi vô hạn: nếu \(|q| < 1\) thì \(\lim_{n \to +\infty} q^n = 0\), suy ra \(\lim_{n \to +\infty} u_n = 0\).

Phương pháp giải

Một cách. Viết công thức tổng quát \(u_n\) theo \(n\), nhận ra đây là cấp số nhân với công bội \(q = \dfrac{2}{3}\) thỏa \(|q| < 1\), rồi áp dụng tính chất giới hạn của cấp số nhân lùi vô hạn để kết luận.

Ứng dụng thực tế

Khi em đập một quả bóng tennis xuống sàn, mỗi lần nảy lên bóng thấp hơn lần trước — sau rất nhiều lần, bóng gần như không nảy nữa. Em có thể dùng giới hạn dãy số để tính toán điều đó không?

Gợi ý (0/3)

Lời giải chi tiết

Các bài tập cùng bài học— Bài 15. Giới hạn của dãy số

Góp ý về bài tập

Bạn thấy nội dung có gì chưa ổn? Góp ý của bạn giúp chúng tôi cải thiện.

...