Trường hợp cửa hình chữ nhật (H.4.29):
Gọi a và d lần lượt là giao tuyến của mặt phẳng khung cửa với mặt phẳng cánh cửa trái và cánh cửa phải. Gọi b và c là hai mép ngoài của hai cánh cửa.
Vì mỗi cánh cửa có dạng hình chữ nhật, các cạnh đối song song nhau, nên: \( b \parallel a \) và \( c \parallel d \).
Mặt khác, a và d đều là giao tuyến của mặt phẳng khung cửa với mặt phẳng từng cánh cửa, và cả hai đều song song với bản lề, nên \( a \parallel d \).
Vì \( b \parallel a \) và \( a \parallel d \) nên \( b \parallel d \). Kết hợp với \( c \parallel d \), suy ra \( b \parallel c \).
Vậy dù hai cánh cửa mở ở vị trí nào, hai mép ngoài b và c luôn song song với nhau.
Trường hợp cửa hình thang (H.4.30):
Không có vị trí nào của hai cánh cửa để hai mép ngoài song song nhau.
Chứng minh bằng phản chứng: Giả sử tồn tại một vị trí sao cho hai mép ngoài b và c song song nhau. Gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng cánh cửa. Theo định lí ba giao tuyến, d song song với cả b lẫn c. Mặt khác, d cũng nằm trong cả hai mặt phẳng cánh cửa nên d song song với bản lề của từng cánh. Suy ra b song song với bản lề. Nhưng cánh cửa hình thang có mép ngoài không song song với bản lề — đây là mâu thuẫn.
Vậy không tồn tại vị trí nào của hai cánh cửa hình thang để hai mép ngoài song song nhau.
