Chứng minh vuông góc và tính góc nhị diện trong hình chóp S.ABC

Đề bài:

Cho hình chóp S.ABC có SA \( \bot \) (ABC). Gọi H là hình chiếu của A trên BC. a) Chứng minh rằng (SAB) \( \bot \) (ABC) và (SAH) \( \bot \) (SBC). b) Giả sử tam giác ABC vuông tại A, \(\widehat{ABC} = 30^\circ\), \(AC = a\), \(SA = \dfrac{a\sqrt{3}}{2}\). Tính số đo góc nhị diện [S, BC, A].

Phân tích bài toán

Tóm tắt đề bài

Hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), H là hình chiếu của A lên BC. Phần a yêu cầu chứng minh hai cặp mặt phẳng vuông góc. Phần b cho thêm điều kiện về góc và độ dài, yêu cầu tính góc nhị diện [S, BC, A].

Kiến thức cần dùng

Hai mặt phẳng vuông góc khi có một đường thẳng nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với mặt phẳng kia. Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong một mặt phẳng thì nó vuông góc với mặt phẳng đó. Góc nhị diện [P, a, Q] được đo bằng góc phẳng tạo bởi hai tia xuất phát từ một điểm trên cạnh a, mỗi tia nằm trong một mặt phẳng và vuông góc với cạnh a. Tỉ số lượng giác trong tam giác vuông.

Phương pháp giải

Phần a: Với (SAB) ⊥ (ABC), dùng SA ⊂ (SAB) và SA ⊥ (ABC). Với (SAH) ⊥ (SBC), chứng minh BC ⊥ (SAH) bằng cách chỉ ra BC vuông góc với cả AH lẫn SA (hai đường thẳng cắt nhau trong (SAH)), từ đó suy ra (SAH) ⊥ (SBC). Phần b: Xác định góc phẳng của góc nhị diện [S, BC, A] là góc SHA (vì SH và AH cùng vuông góc với BC tại H). Tính AH từ tam giác ACH rồi tính góc SHA từ tam giác vuông SHA.

Ứng dụng thực tế

Khi dựng một cái lều trại hình chóp, mái lều tạo với mặt đất một góc nhị diện — biết chiều cao và khoảng cách từ chân lều đến sườn mái, em có thể tính được góc nghiêng của mái lều không?

Gợi ý (0/3)

Lời giải chi tiết

Các bài tập cùng bài học— Bài 25. Hai mặt phẳng vuông góc

Góp ý về bài tập

Bạn thấy nội dung có gì chưa ổn? Góp ý của bạn giúp chúng tôi cải thiện.

...