Chứng minh vuông góc trong tứ diện ABCD

Đề bài:

Cho tứ diện ABCD có tam giác ABC cân tại \(A\), tam giác BCD cân tại \(D\). Gọi I là trung điểm của cạnh BC. a) Chứng minh rằng \(BC \bot (AID)\). b) Kẻ đường cao AH của tam giác AID. Chứng minh rằng \(AH \bot (BCD)\). c) Kẻ đường cao IJ của tam giác AID. Chứng minh rằng IJ là đường vuông góc chung của AD và BC.

Phân tích bài toán

Tóm tắt đề bài

Tứ diện ABCD có hai tam giác cân, I là trung điểm BC. Cần chứng minh BC vuông góc với mặt phẳng (AID), rồi từ đó suy ra AH vuông góc (BCD) và IJ là đường vuông góc chung của AD và BC.

Kiến thức cần dùng

Tính chất đường trung tuyến trong tam giác cân — đường trung tuyến ứng với cạnh đáy đồng thời là đường cao. Điều kiện đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng đó. Định lý: nếu hai mặt phẳng vuông góc nhau, trong một mặt phẳng có đường thẳng vuông góc với giao tuyến thì đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng kia. Định nghĩa đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau.

Phương pháp giải

Câu a dùng tính chất tam giác cân để chỉ ra AI ⊥ BC và DI ⊥ BC, từ đó BC ⊥ (AID). Câu b dùng kết quả câu a để suy ra (BCD) ⊥ (AID), rồi áp dụng định lý đường thẳng vuông góc mặt phẳng. Câu c kết hợp BC ⊥ (AID) và IJ ⊥ AD để kết luận IJ vuông góc cả AD lẫn BC.

Ứng dụng thực tế

Khi dựng một chiếc lều cắm trại hình chóp tứ diện, làm thế nào để xác định cột chống chính đứng thẳng góc với mặt đất dựa vào tính cân xứng của các cạnh lều?

Gợi ý (0/3)

Lời giải chi tiết

Các bài tập cùng bài học— Bài tập cuối chương VII

Góp ý về bài tập

Bạn thấy nội dung có gì chưa ổn? Góp ý của bạn giúp chúng tôi cải thiện.

...