Chứng minh đường vuông góc chung và cạnh đối diện vuông góc trong tứ diện đều

Đề bài:

Cho tứ diện ABCD có tất cả các cạnh đều bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng: a) MN là đường vuông góc chung của AB và CD. b) Các cặp cạnh đối diện trong tứ diện ABCD đều vuông góc với nhau.

Phân tích bài toán

Tóm tắt đề bài

Tứ diện đều ABCD (tất cả cạnh bằng a), M là trung điểm AB, N là trung điểm CD. Cần chứng minh MN vuông góc với cả AB lẫn CD, rồi từ đó suy ra các cặp cạnh đối diện vuông góc nhau.

Kiến thức cần dùng

Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng đó. Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong một mặt phẳng thì vuông góc với mặt phẳng đó. Tam giác cân: đường trung tuyến ứng với cạnh đáy cũng là đường cao. Trong tam giác đều, đường trung tuyến vuông góc với cạnh đáy.

Phương pháp giải

Một cách giải. Trước tiên, chứng minh CD vuông góc với hai đường BN và AN trong mặt phẳng (ABN) — từ đó suy ra CD vuông góc với mặt phẳng (ABN), tức CD vuông góc MN. Tiếp theo, chứng minh tam giác ABN cân tại N (do BN = AN là trung tuyến của hai tam giác đều), suy ra MN là đường cao, tức AB vuông góc MN. Hai điều trên cùng nhau khẳng định MN là đường vuông góc chung. Phần b) dùng thẳng kết quả CD vuông góc mặt phẳng (ABN) để suy ra CD vuông góc AB, rồi lập luận tương tự cho các cặp còn lại.

Ứng dụng thực tế

Khung kim loại hình tứ diện đều được dùng trong xây dựng và thiết kế. Biết các cạnh đối diện luôn vuông góc nhau giúp kỹ sư tính toán lực và độ bền của khung mà không cần đo trực tiếp từng góc — em có thể giải thích tại sao tính chất này lại tiện lợi không?

Gợi ý (0/3)

Lời giải chi tiết

Các bài tập cùng bài học— Bài 26. Khoảng cách

Góp ý về bài tập

Bạn thấy nội dung có gì chưa ổn? Góp ý của bạn giúp chúng tôi cải thiện.

...