Chứng minh đẳng thức lượng giác dùng công thức nhân đôi

Đề bài:

Chứng minh các đẳng thức sau: a) \({\left( {\sin \alpha + \cos \alpha } \right)^2} = 1 + \sin 2\alpha\) b) \({\cos ^4}\alpha - {\sin ^4}\alpha = \cos 2\alpha\)

Phân tích bài toán

Tóm tắt đề bài

Đề yêu cầu chứng minh hai đẳng thức lượng giác. Vế trái chứa biểu thức đại số, vế phải chứa hàm lượng giác góc nhân đôi.

Kiến thức cần dùng

Hằng đẳng thức \((A+B)^2 = A^2 + 2AB + B^2\); hằng đẳng thức hiệu hai bình phương \(A^2 - B^2 = (A-B)(A+B)\); công thức cơ bản \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\); công thức nhân đôi \(\sin 2\alpha = 2\sin\alpha\cos\alpha\) và \(\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha\).

Phương pháp giải

Cả hai câu đều dùng một cách: biến đổi vế trái về dạng vế phải. Câu a) khai triển bình phương của tổng rồi nhóm và nhận ra công thức nhân đôi. Câu b) phân tích hiệu hai bình phương \(\cos^4\alpha - \sin^4\alpha = (\cos^2\alpha - \sin^2\alpha)(\cos^2\alpha + \sin^2\alpha)\) rồi áp dụng công thức nhân đôi và hệ thức cơ bản.

Ứng dụng thực tế

Trong kỹ thuật điện, tín hiệu điện xoay chiều thường được mô tả qua hàm sin và cos. Các đẳng thức nhân đôi giúp rút gọn biểu thức công suất, ví dụ công suất tức thời \(P = U_0 I_0 \sin\omega t \cos\omega t\) được viết gọn thành \(P = \frac{U_0 I_0}{2}\sin 2\omega t\). Em có nhận ra dạng quen thuộc nào ở đây không?

Gợi ý (0/3)

Lời giải chi tiết

Các bài tập cùng bài học— Bài tập cuối chương 1

Góp ý về bài tập

Bạn thấy nội dung có gì chưa ổn? Góp ý của bạn giúp chúng tôi cải thiện.

...