Chứng minh bất đẳng thức đạo hàm cấp hai

Tính \(f'(x)\): \[f'(x) = 2 \cdot 2\sin\!\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \cdot \cos\!\left(x + \frac{\pi}{4}\right) \cdot 1 = 4\sin\!\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\cos\!\left(x + \frac{\pi}{4}\right)\] Áp dụng công thức nhân đôi \(2\sin u \cos u = \sin 2u\): \[f'(x) = 2\sin\!\left(2x + \frac{\pi}{2}\right)\] Tính \(f''(x)\): \[f''(x) = 2 \cdot 2\cos\!\left(2x + \frac{\pi}{2}\right) = 4\cos\!\left(2x + \frac{\pi}{2}\right)\] Vì \(-1 \le \cos\!\left(2x + \dfrac{\pi}{2}\right) \le 1\) với mọi \(x\), nên: \[-4 \le 4\cos\!\left(2x + \frac{\pi}{2}\right) \le 4\] Hay \(-4 \le f''(x) \le 4\), tức là \(|f''(x)| \le 4\) với mọi \(x\). (đpcm)