Các quy tắc tính đạo hàm: tổng, hiệu, tích, thương

Giả sử \(u = u(x)\) và \(v = v(x)\) là hai hàm số có đạo hàm trên cùng một tập xác định. Quy tắc 1 — Đạo hàm của tổng và hiệu: \[(u \pm v)' = u' \pm v'\] Đạo hàm của tổng (hoặc hiệu) bằng tổng (hoặc hiệu) các đạo hàm. Ví dụ: Tính đạo hàm của \(f(x) = x^3 + \sin x\). \[f'(x) = (x^3)' + (\sin x)' = 3x^2 + \cos x\] Quy tắc 2 — Đạo hàm của tích: \[(u \cdot v)' = u'v + uv'\] Lấy đạo hàm hàm thứ nhất nhân hàm thứ hai, cộng hàm thứ nhất nhân đạo hàm hàm thứ hai. Ví dụ: Tính đạo hàm của \(f(x) = x^2 \cos x\). \[f'(x) = (x^2)' \cos x + x^2 (\cos x)' = 2x \cos x + x^2 (-\sin x) = 2x \cos x - x^2 \sin x\] Quy tắc 3 — Đạo hàm của thương (\(v \neq 0\)): \[\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\] Ví dụ: Tính đạo hàm của \(f(x) = \dfrac{\sin x}{x}\) với \(x \neq 0\). \[f'(x) = \dfrac{(\sin x)' \cdot x - \sin x \cdot (x)'}{x^2} = \dfrac{x\cos x - \sin x}{x^2}\] Trường hợp đặc biệt — Đạo hàm của hằng số nhân hàm số: \[(cu)' = cu'\] Ví dụ: \((5x^3)' = 5 \cdot (x^3)' = 5 \cdot 3x^2 = 15x^2\) Lưu ý: Đạo hàm của hằng số bằng 0, tức \((c)' = 0\).