Skip to main content
ClassBk LogoClassBk

Chứng minh bất đẳng thức liên quan đến đường cao và đường trung tuyến

Đề bài:

Gọi AI và AM lần lượt là đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A của tam giác ABC. Chứng minh rằng: a) \(AI < \dfrac{1}{2}\left( {AB + AC} \right)\) b) \(AM < \dfrac{1}{2}\left( {AB + AC} \right)\)

Phân tích bài toán

Tóm tắt đề bài
Cho tam giác ABC với AI là đường cao và AM là đường trung tuyến từ đỉnh A. Cần chứng minh hai bất đẳng thức liên quan đến AI, AM so với nửa tổng hai cạnh AB và AC.
Kiến thức cần dùng
Trong một tam giác, đường vuông góc (đường cao) kẻ từ một điểm đến một đường thẳng luôn ngắn hơn đường xiên — tức là AI < AB và AI < AC. Định lý bất đẳng thức tam giác: tổng hai cạnh bất kỳ lớn hơn cạnh còn lại. Trường hợp bằng nhau cạnh-góc-cạnh (c-g-
Phương pháp giải
để chứng minh hai tam giác bằng nhau. Tính chất trung điểm và hai góc đối đỉnh bằng nhau. c) PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Có một cách giải cho mỗi phần. Phần a): Vì AI là đường vuông góc, AI ngắn hơn mọi đường xiên từ A đến BC, suy ra AI < AB và AI < AC, cộng hai vế rồi chia đôi. Phần b): Lấy điểm D sao cho M là trung điểm của AD, chứng minh tam giác ABM bằng tam giác DCM theo trường hợp c-g-c để suy ra AB = CD, sau đó áp dụng bất đẳng thức tam giác cho tam giác ACD với AD = 2AM.
Ứng dụng thực tế
Khi em đứng ở một góc sân và muốn đi đến một bức tường, con đường ngắn nhất là đi thẳng góc vào tường — mọi hướng đi chếch đều dài hơn. Đây chính là ý tưởng của phần a).

Gợi ý (0/3)

Lời giải chi tiết

Các bài tập cùng bài học— Bài tập cuối chương IX

Góp ý về bài tập

Bạn thấy nội dung có gì chưa ổn? Góp ý của bạn giúp chúng tôi cải thiện.

...