Chứng minh hai tam giác bằng nhau khi có tia phân giác
Đề bài:
Cho tia Oz là tia phân giác của góc xOy. Lấy các điểm A, B, C lần lượt thuộc các tia Ox, Oy, Oz sao cho \(\widehat{CAO} = \widehat{CBO}\).
a) Chứng minh rằng \(\Delta OAC = \Delta OBC\).
b) Lấy điểm M trên tia đối của tia CO. Chứng minh rằng \(\Delta MAC = \Delta MBC\).
a) Trong \(\Delta OAC\) có: \(\widehat{AOC} + \widehat{OAC} + \widehat{OCA} = 180°\)
Trong \(\Delta OBC\) có: \(\widehat{BOC} + \widehat{OBC} + \widehat{OCB} = 180°\)
Vì Oz là tia phân giác của góc xOy nên \(\widehat{AOC} = \widehat{BOC}\).
Đề bài cho \(\widehat{CAO} = \widehat{CBO}\).
Do đó \(\widehat{OCA} = \widehat{OCB}\).
Xét \(\Delta OAC\) và \(\Delta OBC\):
\(\widehat{AOC} = \widehat{BOC}\) (Oz là tia phân giác)
OC chung
\(\widehat{OCA} = \widehat{OCB}\) (chứng minh trên)
Suy ra \(\Delta OAC = \Delta OBC\) (g.c.g).
b) Vì \(\Delta OAC = \Delta OBC\) nên AC = BC (hai cạnh tương ứng) và \(\widehat{ACO} = \widehat{BCO}\) (hai góc tương ứng).
Vì \(\widehat{ACO}\) và \(\widehat{ACM}\) kề bù nên \(\widehat{ACO} + \widehat{ACM} = 180°\).
Vì \(\widehat{BCO}\) và \(\widehat{BCM}\) kề bù nên \(\widehat{BCO} + \widehat{BCM} = 180°\).
Mà \(\widehat{ACO} = \widehat{BCO}\) nên \(\widehat{ACM} = \widehat{BCM}\).
Xét \(\Delta MAC\) và \(\Delta MBC\):
AC = BC (chứng minh trên)
\(\widehat{ACM} = \widehat{BCM}\) (chứng minh trên)
CM chung
Suy ra \(\Delta MAC = \Delta MBC\) (c.g.c).