Chứng minh AD nhỏ hơn nửa chu vi tam giác ABC

Áp dụng quan hệ giữa ba cạnh của tam giác ABD, ta có: \[ AD < AB + BD \quad (1) \] Áp dụng quan hệ giữa ba cạnh của tam giác ACD, ta có: \[ AD < AC + CD \quad (2) \] Cộng vế theo vế của (1) và (2): \[ AD + AD < AB + BD + AC + CD \] \[ 2AD < AB + (BD + DC) + AC \] Vì D nằm giữa B và C nên \( BD + DC = BC \), suy ra: \[ 2AD < AB + BC + AC \] Vế phải chính là chu vi tam giác ABC, nên: \[ 2AD < \text{chu vi tam giác } ABC \] \[ AD < \frac{\text{chu vi tam giác } ABC}{2} \] Vậy AD nhỏ hơn nửa chu vi tam giác ABC.