Chứng minh tính chất hai đường trung tuyến trong tam giác cân
Đề bài:
Chứng minh rằng:
a) Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên là hai đoạn thẳng bằng nhau.
b) Ngược lại, nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.
Gọi BM và CN là hai đường trung tuyến của \( \Delta ABC \) cân tại A, trong đó M là trung điểm AC, N là trung điểm AB.
Khi đó: \( AM = MC = \dfrac{1}{2}AC \); \( AN = NB = \dfrac{1}{2}AB \).
Vì \( \Delta ABC \) cân tại A nên AB = AC, suy ra \( AM = AN \).
Xét \( \Delta ANC \) và \( \Delta AMB \), ta có:
\( AN = AM \) (chứng minh trên)
\( \widehat{A} \) chung
\( AC = AB \) (tam giác cân tại A)
Suy ra \( \Delta ANC = \Delta AMB \) (c.g.c).
Do đó \( NC = MB \), tức \( CN = BM \) (hai cạnh tương ứng).
Vậy trong tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên bằng nhau.
b)
Gọi BM và CN là hai đường trung tuyến của \( \Delta ABC \), cắt nhau tại G. Khi đó G là trọng tâm của tam giác ABC.
Theo tính chất trọng tâm: \( GB = \dfrac{2}{3}BM \); \( GC = \dfrac{2}{3}CN \).
Vì \( BM = CN \) (giả thiết) nên \( GB = GC \).
Tam giác GBC có \( GB = GC \) nên \( \Delta GBC \) cân tại G.
Suy ra \( \widehat{GCB} = \widehat{GBC} \) (tính chất tam giác cân).
Xét \( \Delta BCN \) và \( \Delta CBM \), ta có:
\( BC \) là cạnh chung
\( CN = BM \) (giả thiết)
\( \widehat{GCB} = \widehat{GBC} \) (chứng minh trên)
Suy ra \( \Delta BCN = \Delta CBM \) (c.g.c).
Do đó \( \widehat{NBC} = \widehat{MCB} \) (hai góc tương ứng), tức \( \widehat{ABC} = \widehat{ACB} \).
Tam giác ABC có hai góc đáy bằng nhau nên tam giác ABC cân tại A.
Vậy tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.