Chứng minh tam giác có điểm cách đều 3 đỉnh nằm trên cạnh là tam giác vuông

Vì O cách đều 3 đỉnh của tam giác ABC nên: \( OA = OB = OC \). Giả sử O nằm trên cạnh BC. Khi đó \( OB = OC \), nên O là trung điểm của BC. Vì \( OA = OB \), tam giác OAB cân tại O, nên: \[ \widehat{OAB} = \widehat{OBA} \] Vì \( OA = OC \), tam giác OAC cân tại O, nên: \[ \widehat{OAC} = \widehat{OCA} \] Xét tam giác ABC, tổng ba góc bằng 180°: \[ \widehat{A} + \widehat{B} + \widehat{C} = 180° \] Ta có \( \widehat{A} = \widehat{OAB} + \widehat{OAC} \), \( \widehat{B} = \widehat{OBA} = \widehat{OAB} \), \( \widehat{C} = \widehat{OCA} = \widehat{OAC} \), nên: \[ (\widehat{OAB} + \widehat{OAC}) + \widehat{OAB} + \widehat{OAC} = 180° \] \[ 2(\widehat{OAB} + \widehat{OAC}) = 180° \] \[ \widehat{A} = 90° \] Vậy nếu O nằm trên một cạnh của tam giác ABC thì tam giác ABC là tam giác vuông (vuông tại A).