Chứng minh tính chất điểm giao hai phân giác trong tam giác
Đề bài:
Trong tam giác ABC, hai đường phân giác của các góc B và C cắt nhau tại D. Kẻ DP vuông góc với BC, DQ vuông góc với CA, DR vuông góc với AB.
a) Giải thích tại sao DP = DR.
b) Giải thích tại sao DP = DQ.
c) Từ câu a và b suy ra DR = DQ. Tại sao D nằm trên tia phân giác của góc A? (Đây là một cách chứng minh định lí 2.)
a) Vì BD là tia phân giác của góc ABC nên:
\[\widehat{B_1} = \widehat{B_2} = \dfrac{1}{2}\widehat{ABC}\]
Xét \(\Delta BDP\) vuông tại P và \(\Delta BDR\) vuông tại R, có:
- \(\widehat{B_2} = \widehat{B_1}\) (vì BD là phân giác góc B)
- BD chung
Suy ra \(\Delta BDP = \Delta BDR\) (cạnh huyền – góc nhọn).
Vậy DP = DR (hai cạnh tương ứng). (1)
b) Vì CD là tia phân giác của góc ACB nên:
\[\widehat{C_1} = \widehat{C_2} = \dfrac{1}{2}\widehat{ACB}\]
Xét \(\Delta CDP\) vuông tại P và \(\Delta CDQ\) vuông tại Q, có:
- \(\widehat{C_2} = \widehat{C_1}\) (vì CD là phân giác góc C)
- CD chung
Suy ra \(\Delta CDP = \Delta CDQ\) (cạnh huyền – góc nhọn).
Vậy DP = DQ (hai cạnh tương ứng). (2)
c) Từ (1) và (2): DR = DP = DQ, suy ra DR = DQ.
Vì D cách đều hai cạnh AB và AC (DR = DQ), theo tính chất ngược của tia phân giác, D nằm trên tia phân giác của góc A.