Chứng minh điểm cách đều 3 cạnh tam giác đều là trọng tâm

Gọi I là điểm cách đều 3 cạnh của tam giác đều ABC. Vì I cách đều 3 cạnh AB, BC, CA nên I là giao điểm của 3 đường phân giác của tam giác ABC. Do đó AI, BI, CI lần lượt là các đường phân giác của tam giác ABC. Vì tam giác ABC đều nên AB = AC = BC. Xét tam giác ABC: AB = AC nên tam giác ABC cân tại A. Trong tam giác cân, đường phân giác kẻ từ đỉnh A đồng thời là đường trung tuyến từ A. Vậy AI là đường trung tuyến của tam giác ABC. Tương tự, vì AB = BC nên tam giác ABC cân tại B, suy ra BI là đường trung tuyến từ B. Vì AC = BC nên tam giác ABC cân tại C, suy ra CI là đường trung tuyến từ C. Vậy I là giao điểm của 3 đường trung tuyến AI, BI, CI của tam giác ABC, nên I là trọng tâm của tam giác ABC. Chú ý: Trong tam giác đều, giao điểm của 3 đường trung tuyến cũng chính là giao điểm của 3 đường phân giác.