Chứng minh AM lớn hơn hoặc bằng cạnh hình vuông

Vì ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA (bốn cạnh bằng nhau) và các góc đều bằng 90°. Xét M nằm trên cạnh BC, có hai trường hợp: Trường hợp 1: M trùng với B. Khi đó AM = AB, tức AM bằng độ dài cạnh hình vuông. Trường hợp 2: M khác B (M nằm giữa B và C). Vì góc ABC = 90° nên AB vuông góc với BC. Do đó AB là đường vuông góc kẻ từ A đến đường thẳng BC, còn AM là đường xiên kẻ từ A đến đường thẳng BC. Theo định lí, đường vuông góc ngắn hơn đường xiên, nên AB < AM. Vì AB là cạnh hình vuông nên AM lớn hơn độ dài cạnh hình vuông. Kết hợp hai trường hợp: khi M nằm trên cạnh BC thì AM ≥ AB. Xét M nằm trên cạnh CD, hoàn toàn tương tự: Vì góc ADC = 90° nên AD vuông góc với CD. AD là đường vuông góc từ A đến CD, AM là đường xiên từ A đến CD. Nếu M trùng D thì AM = AD bằng cạnh hình vuông. Nếu M khác D thì AD < AM, tức AM lớn hơn độ dài cạnh hình vuông. Vậy dù M nằm ở đâu trên cạnh BC hoặc CD, độ dài đoạn thẳng AM luôn lớn hơn hoặc bằng độ dài cạnh của hình vuông ABCD.