Chào em! Thầy/cô hiểu cảm giác khi gặp một bài toán mà mình cứ loay hoay mãi. Đừng lo lắng nhé, đây là một dạng bài khá phổ biến trong phần phương trình lượng giác và có cách giải quyết rõ ràng. Chúng ta sẽ cùng nhau đi từng bước một để em có thể hiểu rõ hơn nhé!

Bài toán của em là: 2cos²x - sinx - 1 = 0

Để giải quyết phương trình này, mục tiêu của chúng ta là đưa nó về dạng chỉ chứa một hàm lượng giác (hoặc sin, hoặc cos) để dễ dàng đặt ẩn phụ hoặc giải trực tiếp. Ở đây, em thấy có cả cos²x và sinx. Vậy mình sẽ sử dụng công thức lượng giác cơ bản để biến đổi cos²x về sinx.

Bước 1: Áp dụng công thức cơ bản

• Em nhớ công thức sin²x + cos²x = 1 không? Từ đó, ta có thể suy ra cos²x = 1 - sin²x.
• Thay cos²x = 1 - sin²x vào phương trình ban đầu, ta được:
  2(1 - sin²x) - sinx - 1 = 0

Bước 2: Rút gọn và sắp xếp lại phương trình

• Mở ngoặc và rút gọn:
  2 - 2sin²x - sinx - 1 = 0
-2sin²x - sinx + 1 = 0
• Để dễ nhìn hơn, mình nhân cả hai vế với -1:
  2sin²x + sinx - 1 = 0

Bước 3: Đặt ẩn phụ

• Đến đây, em thấy phương trình có dạng giống phương trình bậc hai không? Mình có thể đặt t = sinx.
• Lưu ý quan trọng: Vì t = sinx, nên điều kiện của t là -1 ≤ t ≤ 1.
• Khi đó, phương trình trở thành: 2t² + t - 1 = 0.

Bước 4: Giải phương trình bậc hai

• Em có thể dùng máy tính hoặc công thức nghiệm để giải phương trình bậc hai 2t² + t - 1 = 0.
• Tính delta: Δ = b² - 4ac = 1² - 4(2)(-1) = 1 + 8 = 9.
• Căn delta: √Δ = 3.
• Nghiệm t1 = (-b + √Δ) / 2a = (-1 + 3) / (2 * 2) = 2 / 4 = 1/2.
• Nghiệm t2 = (-b - √Δ) / 2a = (-1 - 3) / (2 * 2) = -4 / 4 = -1.

Bước 5: Quay lại với ẩn x và tìm nghiệm

• Cả hai nghiệm t1 = 1/2 và t2 = -1 đều thỏa mãn điều kiện -1 ≤ t ≤ 1.

Trường hợp 1: sinx = 1/2

• Đây là phương trình lượng giác cơ bản. sinx = 1/2 có hai họ nghiệm:
• x = π/6 + k2π (với k ∈ Z)
• x = π - π/6 + k2π = 5π/6 + k2π (với k ∈ Z)

Trường hợp 2: sinx = -1

• Đây cũng là phương trình lượng giác cơ bản đặc biệt.
• x = -π/2 + k2π (hoặc x = 3π/2 + k2π) (với k ∈ Z)

Kết luận: Vậy, phương trình đã cho có các họ nghiệm là: x = π/6 + k2π, x = 5π/6 + k2π và x = -π/2 + k2π (với k ∈ Z).

Em thấy không, quan trọng là mình biết cách biến đổi về cùng một hàm lượng giác và đặt ẩn phụ. Cố gắng luyện tập thêm dạng này nhé! Nếu có chỗ nào chưa hiểu rõ, cứ hỏi lại thầy/cô nha.

Chào em! Thầy hiểu là em đang gặp khó khăn với bài tập cuối chương 5. Đừng lo lắng quá nhé, chương này kiến thức cũng khá nhiều và cần nắm vững công thức mới làm được. Để giúp em, thầy sẽ hướng dẫn em cách tiếp cận và giải quyết từng dạng bài tập trong chương này nhé.

1. Nắm vững lý thuyết: Trước khi bắt tay vào giải bài tập, em cần đảm bảo mình đã hiểu rõ các công thức cộng, công thức nhân đôi, công thức biến đổi tổng thành tích và tích thành tổng. Hãy viết ra một tờ giấy các công thức này và học thuộc lòng.

2. Phân loại bài tập: Chương này có nhiều dạng bài tập khác nhau. Hãy thử phân loại chúng thành các nhóm như: chứng minh đẳng thức lượng giác, giải phương trình lượng giác, tính giá trị biểu thức lượng giác,...

3. Áp dụng công thức phù hợp: Với mỗi dạng bài tập, sẽ có những công thức phù hợp để áp dụng. Ví dụ, khi chứng minh đẳng thức lượng giác, em có thể biến đổi vế phức tạp thành vế đơn giản hơn, hoặc biến đổi cả hai vế về cùng một biểu thức.

4. Luyện tập thường xuyên: Cách tốt nhất để làm quen với các công thức và dạng bài tập là luyện tập thật nhiều. Em có thể bắt đầu với những bài tập cơ bản trong sách giáo khoa, sau đó chuyển sang những bài tập nâng cao hơn.

Nếu em có bài tập cụ thể nào cần giúp đỡ, hãy gửi cho thầy nhé! Thầy sẽ hướng dẫn em giải chi tiết từng bước một.

Chúc em học tốt!

Chào em! Thầy hiểu rằng em đang gặp khó khăn với phép chiếu vuông góc và góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Đây là một phần kiến thức quan trọng nhưng cũng cần thời gian để nắm vững. Thầy sẽ cố gắng giải thích một cách dễ hiểu nhất nhé.

1. Phép chiếu vuông góc:

Em hình dung thế này: phép chiếu vuông góc của một điểm lên một mặt phẳng là hình chiếu của điểm đó xuống mặt phẳng theo phương vuông góc. Tương tự, phép chiếu vuông góc của một đường thẳng lên một mặt phẳng là tập hợp các hình chiếu vuông góc của tất cả các điểm trên đường thẳng đó.

Để tìm hình chiếu vuông góc của một điểm hoặc đường thẳng, em cần:

• Xác định mặt phẳng chiếu (mặt phẳng mà em muốn chiếu xuống).
• Từ điểm hoặc đường thẳng cần chiếu, kẻ đường thẳng vuông góc với mặt phẳng chiếu.
• Giao điểm của đường thẳng vuông góc đó với mặt phẳng chiếu chính là hình chiếu vuông góc của điểm đó.

2. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng:

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là góc giữa đường thẳng đó và hình chiếu vuông góc của nó lên mặt phẳng đó. Nếu đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì góc giữa chúng là 90 độ. Nếu đường thẳng song song hoặc nằm trong mặt phẳng thì góc giữa chúng là 0 độ.

Để tìm góc giữa đường thẳng và mặt phẳng, em làm theo các bước sau:

• Tìm hình chiếu vuông góc của đường thẳng lên mặt phẳng. (Gọi hình chiếu này là d')
• Xác định một điểm A bất kỳ trên đường thẳng d.
• Tìm hình chiếu vuông góc A' của điểm A lên mặt phẳng.
• Góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng là góc giữa d và d'. (Hay chính là góc A'AA)

Lưu ý: Khi giải bài tập, em nên vẽ hình minh họa để dễ hình dung và xác định các yếu tố cần thiết. Hãy bắt đầu từ những bài tập đơn giản để làm quen với các khái niệm và công thức, sau đó mới chuyển sang những bài tập phức tạp hơn.

Nếu em vẫn còn thắc mắc, đừng ngần ngại hỏi lại nhé! Chúc em học tốt!

Chào em! Thầy hiểu cảm giác của em, chương này nhiều bạn cũng thấy hơi trừu tượng. Đừng lo lắng quá nhé, mình sẽ cùng nhau gỡ rối.

Để chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, em cần nhớ kỹ định lý: Nếu một đường thẳng vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng thì đường thẳng đó vuông góc với mặt phẳng đó.

Vậy, khi gặp bài toán chứng minh, em hãy tìm cách:

1. Xác định đường thẳng cần chứng minh vuông góc với mặt phẳng nào.
2. Tìm hai đường thẳng cắt nhau nằm trong mặt phẳng đó.
3. Chứng minh đường thẳng ban đầu vuông góc với cả hai đường thẳng vừa tìm.

Ngoài ra, em cũng cần nắm vững các kiến thức liên quan như:

• Định nghĩa và tính chất của đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.
• Định nghĩa và tính chất của hai mặt phẳng vuông góc.
• Các hệ thức lượng trong tam giác vuông, hình chóp, hình hộp.

Ví dụ: Nếu đề bài cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A và SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), thì em có thể suy ra:

• SA vuông góc với AB và AC.
• BC vuông góc với mặt phẳng (SAB) nếu BC vuông góc với SB.

Em hãy thử áp dụng những điều này vào bài tập của em xem sao nhé. Nếu vẫn còn vướng mắc, hãy chụp hình bài làm của em lên đây, thầy và mọi người sẽ cùng giúp em tìm ra lỗi sai và hướng giải quyết!

Chúc em học tốt!