Tính biểu thức lượng giác khi biết tan α

Đề bài:

Cho góc \(\alpha\) với \(0^o < \alpha < 180^o\) thỏa mãn \(\tan \alpha = 3\). Tính giá trị biểu thức: \(P = \dfrac{2\sin \alpha - 3\cos \alpha}{3\sin \alpha + 2\cos \alpha}\).

Phân tích bài toán

Tóm tắt đề bài

Biết \(\tan \alpha = 3\), cần tính giá trị của biểu thức \(P\) chứa cả \(\sin \alpha\) và \(\cos \alpha\).

Kiến thức cần dùng

Định nghĩa \(\tan \alpha = \dfrac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\). Hệ thức \(1 + \tan^2 \alpha = \dfrac{1}{\cos^2 \alpha}\) (với \(\alpha \ne 90^o\)). Dấu của \(\sin \alpha\) và \(\cos \alpha\) theo góc phần tư: với \(0^o < \alpha < 90^o\) thì cả hai dương, với \(90^o < \alpha < 180^o\) thì \(\sin \alpha > 0\), \(\cos \alpha < 0\).

Phương pháp giải

Có hai cách. Cách 1 — chia cả tử và mẫu của \(P\) cho \(\cos \alpha\) (hợp lệ vì \(\tan \alpha = 3\) nên \(\cos \alpha \ne 0\)), từ đó đưa biểu thức về dạng chứa \(\tan \alpha\) rồi thay số. Cách 2 — dùng hệ thức \(1 + \tan^2 \alpha = \dfrac{1}{\cos^2 \alpha}\) để tìm \(\cos \alpha\), sau đó tìm \(\sin \alpha\) rồi thay thẳng vào \(P\).

Ứng dụng thực tế

Trong kỹ thuật xây dựng, khi biết góc nghiêng của mái nhà (tức là biết tang của góc đó), người thợ cần tính tỉ lệ giữa các lực tác dụng lên mái — bài toán này có cấu trúc tương tự.

Gợi ý (0/3)

Lời giải chi tiết

Các bài tập cùng bài học— Bài 5. Giá trị lượng giác của một góc từ 0 đến 180

Góp ý về bài tập

Bạn thấy nội dung có gì chưa ổn? Góp ý của bạn giúp chúng tôi cải thiện.

...