Định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ

Đề bài:

Cho a là một số thực dương. a) Với n là số nguyên dương, hãy thử định nghĩa \({a^{\frac{1}{n}}}\) sao cho \({\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \right)^n} = a.\) b) Từ kết quả câu a, hãy thử định nghĩa \({a^{\frac{m}{n}}}\) với m là số nguyên và n là số nguyên dương, sao cho \({a^{\frac{m}{n}}} = {\left( {{a^{\frac{1}{n}}}} \right)^m}.\) Câu hỏi: Vì sao trong định nghĩa lũy thừa với số mũ hữu tỉ lại cần điều kiện cơ số a > 0?

Phân tích bài toán

Tóm tắt đề bài

Bài yêu cầu xây dựng định nghĩa \(a^{\frac{1}{n}}\) và \(a^{\frac{m}{n}}\) từ tính chất căn bậc n, sau đó giải thích tại sao cần điều kiện a > 0.

Kiến thức cần dùng

Công thức \(\left(\sqrt[n]{a}\right)^n = a\) với a > 0, n nguyên dương. Định nghĩa lũy thừa với số mũ nguyên. Khái niệm căn bậc n của số thực dương.

Phương pháp giải

Có một cách giải chính. Câu a: so sánh \(\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^n = a\) với \(\left(\sqrt[n]{a}\right)^n = a\) để rút ra \(a^{\frac{1}{n}} = \sqrt[n]{a}\). Câu b: thay kết quả câu a vào biểu thức \(\left(a^{\frac{1}{n}}\right)^m\) để được \(a^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{a^m}\). Phần câu hỏi: lấy ví dụ phản chứng với a < 0 và a = 0 để chỉ ra mâu thuẫn.

Ứng dụng thực tế

Khi tính lãi suất ngân hàng theo kỳ hạn rút gọn (ví dụ lãi suất nửa năm từ lãi suất cả năm), người ta dùng đúng công thức \(a^{\frac{1}{2}}\) — vậy tại sao số tiền gốc bắt buộc phải dương mới tính được lãi suất hợp lệ?

Gợi ý (0/3)

Lời giải chi tiết

Các bài tập cùng bài học— Bài 18. Lũy thừa với số mũ thực

Góp ý về bài tập

Bạn thấy nội dung có gì chưa ổn? Góp ý của bạn giúp chúng tôi cải thiện.

...