Skip to main content
ClassBk LogoClassBk

Chứng minh trọng tâm chia tam giác thành ba phần bằng nhau

Đề bài:

Kí hiệu \(S_{ABC}\) là diện tích tam giác ABC. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, M là trung điểm BC. a) Chứng minh \(S_{GBC} = \dfrac{1}{3}S_{ABC}\). Gợi ý: Dùng \(GM = \dfrac{1}{3}AM\) để chứng minh \(S_{GMB} = \dfrac{1}{3}S_{ABM}\) và \(S_{GMC} = \dfrac{1}{3}S_{ACM}\). b) Chứng minh \(S_{GCA} = S_{GAB} = \dfrac{1}{3}S_{ABC}\).

Phân tích bài toán

Tóm tắt đề bài
G là trọng tâm tam giác ABC, M là trung điểm BC. Cần chứng minh tam giác GBC có diện tích bằng 1/3 diện tích tam giác ABC, rồi suy ra ba tam giác GBC, GCA, GAB có diện tích bằng nhau và bằng 1/3 diện tích tam giác ABC.
Kiến thức cần dùng
Tính chất trọng tâm: \(GM = \dfrac{1}{3}AM\) và \(AG = \dfrac{2}{3}AM\). Công thức diện tích tam giác: \(S = \dfrac{1}{2} \times \text{đáy} \times \text{chiều cao}\). Trường hợp đồng dạng cạnh huyền – góc nhọn. M là trung điểm BC nên BM = CM.
Phương pháp giải
Có một hướng giải chính. Với câu a, kẻ \(BP \perp AM\) và \(CN \perp AM\), tính tỉ số \(\dfrac{S_{GMB}}{S_{ABM}}\) và \(\dfrac{S_{GMC}}{S_{ACM}}\) thông qua tỉ số \(\dfrac{GM}{AM} = \dfrac{1}{3}\), rồi cộng lại. Với câu b, chứng minh \(\Delta BPM = \Delta CNM\) để suy ra BP = CN, từ đó \(S_{GAB} = S_{GAC}\). Dùng đẳng thức \(S_{ABC} = S_{GAB} + S_{GAC} + S_{GBC}\) và kết quả câu a để tính \(S_{GAB} = S_{GAC} = \dfrac{1}{3}S_{ABC}\).
Ứng dụng thực tế
Nếu em cắt một tờ giấy hình tam giác và xác định trọng tâm của nó, em có thể chia tờ giấy thành ba mảnh bằng nhau về diện tích bằng cách nối trọng tâm với ba đỉnh — đây chính là điều bài toán chứng minh.

Gợi ý (0/3)

Lời giải chi tiết

Các bài tập cùng bài học— Luyện tập chung trang 82

Góp ý về bài tập

Bạn thấy nội dung có gì chưa ổn? Góp ý của bạn giúp chúng tôi cải thiện.

...