Chứng minh công thức đường trung tuyến qua định lí cos

Đề bài:

Cho tam giác ABC có trung tuyến AM. Chứng minh rằng: a) \(\cos \widehat{AMB} + \cos \widehat{AMC} = 0\) b) \(MA^2 + MB^2 - AB^2 = 2 \cdot MA \cdot MB \cdot \cos \widehat{AMB}\) và \(MA^2 + MC^2 - AC^2 = 2 \cdot MA \cdot MC \cdot \cos \widehat{AMC}\) c) \(MA^2 = \dfrac{2(AB^2 + AC^2) - BC^2}{4}\) (công thức đường trung tuyến)

Phân tích bài toán

Tóm tắt đề bài

AM là trung tuyến của tam giác ABC (M là trung điểm BC). Cần chứng minh ba đẳng thức liên quan đến góc AMB, góc AMC và độ dài các cạnh.

Kiến thức cần dùng

Hai góc bù nhau thì cosin đối nhau: \(\cos(180^\circ - x) = -\cos x\). Định lí cosin trong tam giác: \(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos C\). Tính chất trung tuyến: M là trung điểm BC nên \(MB = MC = \dfrac{BC}{2}\).

Phương pháp giải

Có hai cách giải phần c. Cách 1: cộng vế theo vế hai đẳng thức ở câu b, rồi thay \(MB = MC = \dfrac{BC}{2}\) và dùng kết quả câu a để triệt tiêu \(\cos\widehat{AMB} + \cos\widehat{AMC} = 0\). Cách 2: từ câu b suy ra biểu thức của \(\cos\widehat{AMB}\), thay \(\cos\widehat{AMC} = -\cos\widehat{AMB}\) vào đẳng thức thứ hai rồi rút gọn. Phần a và b mỗi phần chỉ có một cách.

Ứng dụng thực tế

Trong thi công xây dựng, người ta cần tính chiều dài thanh chống từ đỉnh mái xuống điểm giữa của xà ngang (tức đường trung tuyến). Công thức đường trung tuyến cho phép tính được chiều dài đó chỉ từ ba cạnh của tam giác mà không cần đo trực tiếp.

Gợi ý (0/3)

Lời giải chi tiết

Các bài tập cùng bài học— Bài tập cuối chương III

Góp ý về bài tập

Bạn thấy nội dung có gì chưa ổn? Góp ý của bạn giúp chúng tôi cải thiện.

...